Maths Book Title: Schaum's outlines Probability and statistics 4th edition Language: English Authors : Spiegel , Schiller , Srinivasan Download: https://drive.google.com/file/d/1Zc6ojOIKIKWPSVmDgliJQ0tHazHmEQgB/view?usp=drivesdk

فراکتال مندلبرت

🍀@mathteaching بنوا مندلبروت که بود؟ بنوا مندلبروت (۲۰ نوامبر ۱۹۲۴ – ۱۴ اکتبر ۲۰۱۰) یک ریاضیدان فرانسوی-آمریکایی و بنیانگذار هندسه فرکتالی (Fractal Geometry) بود. او به خاطر کشف و عمومی‌سازی "مجموعه مندلبروت" مشهور است و پیشگام مطالعه سیستم‌های پیچیده و نامنظم در طبیعت محسوب می‌شود. پیش از مندلبروت، هندسه کلاسیک (اقلیدسی) با اشکال ساده و صافی مانند دایره، مربع و مکعب سروکار داشت. اما این اشکال قادر به توصیف پیچیدگی و بی‌نظمی دنیای واقعی نبودند، مانند: · شکل ابرها · خطوط ساحلی · شکل کلم بروکلی یا یک درخت · نوسانات در بازارهای مالی مندلبروت مفهوم "فرکتال‌ها" (Fractals) را برای توصیف این پدیده‌ها معرفی کرد. فرکتال‌ها اشکالی هستند با دو ویژگی اصلی: 1. خودمتشابهی (Self-Similarity): به این معنی که شکل در هر مقیاسی که بزرگ یا کوچک شود، مشابه به نظر می‌رسد. اگر به بخش کوچکی از یک فرکتال نگاه کنید، شکلی مشابه کل آن خواهید دید (مثال: شاخه‌های یک درخت، شبیه خود درخت هستند). 2. پیچیدگی برآمده از سادگی: فرکتال‌های بسیار پیچیده را می‌توان با تکرار یک قاعده ساده، بارها و بارها ایجاد کرد. مجموعه مندلبروت (Mandelbrot Set) از معروف‌ترین فرکتال ها است که به نام او نامگذاری شده است. مجموعه مندلبروت یک تصویر است که از یک فرمول ریاضی ساده ساخته می‌شود، اما هنگام بزرگ‌نمایی، پیچیدگی بی‌پایانی را آشکار می‌کند. هر بزرگ‌نمایی، جزئیات و الگوهای جدید و بی‌انتهایی را نشان می‌دهد و آن را به نمادی از زیبایی ریاضی تبدیل کرده است. هندسه فرکتالی مندلبروت ابزار قدرتمندی برای درک جهان ما ثابت شده و در حوزه‌های بسیاری کاربرد دارد، از جمله: · گرافیک کامپیوتری: خلق مناظر طبیعی واقع‌گرایانه مانند کوه‌ها و ابرها در فیلم‌ها و بازی‌های ویدیویی. · علوم زمین: تحلیل شکل خطوط ساحلی، رودخانه‌ها و کوه‌ها. · پزشکی: تحلیل بی‌نظمی ضربان قلب و مطالعه ساختار رگ‌های خونی و تومورها. · فیزیک: درک ساختارهای متخلخل در مواد. · اقتصاد و مالی: مندلبروت از اولین کسانی بود که متوجه شد نوسانات در بازارهای مالی از توزیع نرمال ساده پیروی نمی‌کنند، بلکه دارای ویژگی‌های فرکتالی هستند که به درک بهتر ریسک کمک می‌کند. فلسفه اصلی مندلبروت این بود که "بی‌نظمی، کاملاً تصادفی نیست". در پشت پدیده‌های به ظاهر پیچیده و نامنظم، الگوها و ساختارهای نهفته‌ای وجود دارد. او یک زبان ریاضی جدید برای توصیف این "زبری" و "بی‌قاعدگی" در طبیعت ارائه داد. 🍀@mathteaching

نوار موبیوس

🍀@mathteaching آگوست فردیناند موبیوس (August Ferdinand Möbius) یک ریاضیدان و ستاره‌شناس نظری آلمانی است که بیشتر به دلیل کشف شیء هندسی معروف به "نوار موبیوس" (Möbius strip) شناخته می‌شود. · او در ۱۷ نوامبر ۱۷۹۰ در شولپفرت، نزدیکی ناومبورگ، آلمان متولدشد و در ۲۶ سپتامبر ۱۸۶۸ در لایپزیگ، آلمان درگذشت. · او در دانشگاه‌های لایپزیگ، گوتینگن و برلین تحصیل کرد و تحت نظر ریاضیدانان بزرگی مانند کارل فریدریش گاوس (در ستاره‌شناسی) و یوهان ففرون فون پفاف (در ریاضیات) درس خواند. · او بیشتر عمر حرفه‌ای خود را در دانشگاه لایپزیگ به عنوان استاد ریاضیات و ستاره‌شناسی گذراند و مدتی نیز مدیر رصدخانه دانشگاه بود. نوار موببوس بدون شک مشهورترین کشف موبیوس است. نوار موبیوس یک سطح تک‌طرفه و غیرقابل جهت‌گذاری با تنها یک لبه است. · اگر یک نوار کاغذی بردارید، به آن یک نیم‌چرخش (۱۸۰ درجه) بدهید و دو انتهای آن را به هم بچسبانید، یک نوار موبیوس ساخته‌اید. · ویژگی‌های شگفت‌انگیز: · یک سطح دارد: اگر با مداد شروع به رنگ کردن سطح آن کنید، بدون برداشتن مداد، تمام سطح (چه آنچه ابتدا داخل بود چه خارج) رنگ می‌شود. · یک لبه دارد: اگر با انگشت خود لبهٔ آن را دنبال کنید، تمام طول نوار را طی کرده و به نقطه شروع بازمی‌گردید. · غیرقابل جهت‌گذاری است: این یک مفهوم مهم در توپولوژی است. · موبیوس این مفهوم را در سال ۱۸۵۸ به طور مستقل و همزمان با ریاضیدان دیگری به نام یوهان بندیکت لیستینگ (Johann Benedict Listing) کشف کرد. البته برخی منابع نشان می‌دهند که لیستینگ چند ماه زودتر آن را منتشر کرده است. کار موبیوس بر روی نوارش، او را به یکی از پیشگامان شاخه‌ای از ریاضیات به نام توپولوژی تبدیل کرد. توپولوژی به مطالعه ویژگی‌های اشکال که تحت تغییر شکل‌های پیوسته (مانند کشش یا خم کردن، بدون پاره شدن یا چسباندن) حفظ می‌شوند، می‌پردازد. نوار موبیوس یک مثال کلاسیک و ساده برای درک مفاهیم پیچیده توپولوژی است. موبیوس سهم مهمی در توسعه هندسه تصویری داشت. او مفهوم "مختصات موبیوس" (Möbius coordinates) یا "مختصات همگن" (homogeneous coordinates) را برای توصیف مکان نقاط در یک صفحه معرفی کرد. این کار توصیف تبدیل‌های هندسی را بسیار ساده‌تر کرد. موبیوس به عنوان یک ستاره‌شناس نیز فعال بود و آثار مهمی در این زمینه نوشت. او روی مکانیک سماوی و مسائل مربوط به حرکت اجرام آلی کار کرد. نام آگوست فردیناند موبیوس امروزه به لطف نوار معروفش، برای همیشه در تاریخ ریاضیات ثبت شده است. نوار موبیوس نه تنها یک مفهوم ریاضی مهم، بلکه یک نماد فرهنگی است که در هنر، مجسمه‌سازی، طراحی لوگو (مانند نماد بازیافت ♻️ که شبیه یک نوار موبیوس است)، فناوری (مانند تسمه‌نقاله‌هایی که به طور یکنواخت ساییده می‌شوند) و حتی داستان‌های علمی-تخیلی ظاهر می‌شود. 🍀@mathteaching

یک راهنمای بسیار ساده و مرحله‌به‌مرحله برای ساختن یک نوار موبیوس . مواد مورد نیاز: 1. یک نوار کاغذی (می‌توانید یک برگه A4 را از طول ببرید تا نوار باریکی داشته باشید). 2. چسب (چسب مایع، چسب نواری یا چسب ماتیکی). 3. قیچی. 4. خودکار یا ماژیک (برای آزمایش). مراحل ساختن نوار موبیوس: ۱. برش یک نوار کاغذی: · یک نوار کاغذی به طول حدود ۲۵-۳۰ سانتی‌متر و عرض حدود ۳-۵ سانتی‌متر ببرید. ۲. ایجاد یک پیچش (حسّاس ترین مرحله): · نوار کاغذی را به صورت افقی مقابل خود قرار دهید. · یک سر نوار را ۱۸۰ درجه (نصف دور) بچرخانید. یعنی لبه بالایی این سر نوار باید دقیقاً به جای لبه پایینی بیاید. شبیه به حرف انگلیسی "e" کوچک می‌شود. ۳. چسباندن دو سر: · حالا دو سر نوار (سر چرخانده‌شده و سر معمولی) را به هم برسانید و با چسب محکم کنید. · مطمئن شوید که لبه‌ها به درستی روی هم قرار گرفته‌اند. شما حالا یک حلقه دارید که یک پیچش در آن وجود دارد. این همان نوار موبیوس است! یک آزمایش جالب برای درک ویژگی منحصر به فرد آن: ویژگی اصلی نوار موبیوس این است که فقط یک سطح و یک لبه دارد. برای اثبات این موضوع این کار را انجام دهید: · یک خودکار یا ماژیک بردارید. · بدون برداشتن نوک خودکار از روی نوار، خطی در طول تمام سطح آن بکشید. · خواهید دید که پس از یک دور چرخش، خط به نقطه شروع بازمی‌گردد و هر دو "رو"ی نوار را پوشش داده است. این ثابت می‌کند که این نوار در واقع فقط یک سطح دارد. آزمایش پیشرفته‌تر (اختیاری): · اگر نوار موبیوس را از وسط و در امتداد طول ببرید، به جای دو تکه جدا، به یک حلقه بلندتر با دو پیچش تبدیل می‌شود که خود یک شگفتی دیگر است. https://eitaa.com/mathteaching @mathteaching

این مصاحبه‌ای است با دکتر سیاوش شهشهانی؛ از مجموعه‌ی تاریخ شفاهی ریاضیات در ایران که تحت نظر کمیته تاریخ شفاهی انجمن ریاضی ایران انجام شده‌است. مصاحبه‌کنندگان آقایان مسعود آرین‌نژاد، محمد جلوداری ممقانی، حسن حقیقی و سیامک کاظمی هستند. https://eitaa.com/mathteaching

کتاب دوم تاریخ شفاهی ریاضیات معاصر ایران ( مصاحبه با دکتر خسروشاهی ) به همت دکتر محمد جلوداری ممقانی و همکاران https://eitaa.com/mathteaching

بی‌نظیرترین و ساده‌ترین دست‌سازه برای معرفی عدد اول، استفاده از "الگوی مستطیلی مهره‌ها" است. این دست‌سازه بصری، درک شهودی و ملموسی از مفهوم عدد اول به دست می‌دهد. نام دست‌سازه: مهره‌های تنها وسایل مورد نیاز: · مهره‌های رنگی (مانند لگو، تیله‌های کوچک، دکمه، یا حتی نخود و لوبیا) · یک سطح صاف (مانند میز) روش اجرا: 1. یک عدد انتخاب کنید. مثلاً عدد ۶. 2. از دانش‌آموز بخواهید با تمام روش‌های ممکن، مهره‌ها را به صورت مستطیل‌های منظم (نه خطی) بچیند. برای عدد ۶ می‌توان این مستطیل‌ها را ساخت: · یک ردیف ۶ تایی (مستطیل ۱x۶) · دو ردیف ۳ تایی (مستطیل ۲x۳) 1. حالا یک عدد اول انتخاب کنید. مثلاً عدد ۷. 2. دوباره از او بخواهید با مهره‌ها یک مستطیل منظم بسازد. او خواهد دید که تنها یک راه وجود دارد: · یک ردیف ۷ تایی (مستطیل ۱x۷) نتیجه‌گیری و معرفی مفهوم: حالا مفهوم را توضیح دهید: · عدد مرکب (غیر اول): عددی است مانند ۶ که می‌توانیم آن را به روش‌های بیشتری (غیر از روش خطی) به صورت مستطیل مرتب کنیم. یعنی دارای تقسیم‌کننده‌های بیشتری است. · عدد اول: عددی است مانند ۷، ۵، ۳ یا ۲ که فقط و فقط یک راه برای چیدن آن به صورت مستطیل منظم وجود دارد: یک ردیف به طول خودش. این اعداد را نمی‌توان به شکل مستطیل‌های "واقعی" (با بیش از یک ردیف) چید. به آنها "اعداد تکه‌سنگ" یا "اعداد غیرقابل شکست" هم می‌گویند، چون فقط به صورت یک تکه قابل نمایش هستند. جمله کلیدی: عدد اول، عددی است که تنها بتوان آن را به صورت یک "ردیف" چید. افزودن جذابیت و فعالیت گروهی: · مسابقه سریع: اعداد مختلفی روی کارت بنویسید (مثلاً ۴، ۵، ۹، ۱۱، ۱۲، ۱۳). از بچه‌ها بخواهید به صورت فردی یا گروهی، با مهره‌ها برای هر عدد مستطیل بسازند و سریعاً اعلام کنند کدام اعداد "اول" هستند (آنهایی که فقط یک مستطیل دارند). · استثنای جالب: عدد ۱ را امتحان کنید. می‌بینیم که فقط یک ردیف ۱ تایی داریم. اما طبق تعریف، عدد اول باید دقیقاً دو مقسوم‌علیه (۱ و خودش) داشته باشد. عدد ۱ فقط یک مقسوم‌علیه (یعنی ۱) دارد. بنابراین عدد ۱ نه اول است و نه مرکب! این یک نکته‌ی بسیار جالب برای بحث است. ارتباط با دنیای واقعی (اختیاری و برای سطوح بالاتر): اگر بخواهید پیچیده‌تر کنید، می‌توانید بگویید که این خاصیت (قابل تجزیه نبودن) دلیل اهمیت اعداد اول در رمزنگاری کامپیوترها است. همان‌طور که نمی‌توان یک عدد اول را به مستطیل‌های کوچک‌تر تقسیم کرد، شکستن رمزهایی که بر پایه‌ی ضرب اعداد اول بسیار بزرگ ساخته شده‌اند، برای کامپیوترها نیز فوق‌العاده سخت است. اعداد اول بلوک‌های ساختمانی اعداد طبیعی هستند. این دست‌سازه به‌طور مستقیم، ساده و به‌یادماندنی، مفهوم پایه‌ای اعداد اول را آموزش می‌دهد. https://eitaa.com/mathteaching 🌟کانال ریاضیات

🔴 ثبت‌نام پنجمین دوره‌ی المپیاد بین‌المللی ترکیبیات ایران آغاز شده است. 🗓 تاریخ برگزاری: ۸ و ۹ آبان ۱۴۰۴ 🚩 مهلت ثبت‌نام تا ۳ آبان ۱۴۰۴ 🌐 ثبت‌نام و مشاهده‌ی اطلاعات بیش‌تر: ico-official.com