⬇️کتابچه چهارمین المپیاد ترکیبیات ایران (۲۰۲۴) 📎شامل سوالات و پاسخ‌ها ———————————— ⬇️ Booklet of the ICO 2024 📎 Including problems and solutions

فصلنامه کمیته المپیاد ریاضی

چگونه می توان از اریگامی در تدریس ریاضی استفاده کرد اریگامی یک ابزار فوق‌العاده برای تدریس ریاضیات است زیرا مفاهیم انتزاعی را به تجربیات ملموس و بصری تبدیل می‌کند. در ادامه، روش‌های عملی و مفاهیم ریاضی که می‌توان با اریگامی آموزش داد، آورده شده است: اهداف کلی استفاده از اریگامی در ریاضی: · تقویت درک فضایی و هندسه · تجسم مفاهیم انتزاعی · تقویت مهارت‌های حل مسئله و دنبال کردن الگوریتم · افزایش همکاری و کاهش اضطراب ریاضی ۱- مفاهیم هندسی پایه (مقطع ابتدایی و راهنمایی) فعالیت: ساختن شکل‌های ساده · مربع، مستطیل و مثلث: خود کاغذ اریگامی یک مربع است. با تا کردن آن، می‌توان مستطیل و مثلث ساخت. · مفهوم نیم‌ساز، عمودمنصف و میانه: وقتی یک مربع را از وسط تا می‌زنیم، دقیقاً یک عمودمنصف می‌سازیم. وقتی گوشه‌ها را به هم می‌رسانیم، نیم‌ساز زاویه ساخته‌ایم. · انواع مثلث: با تاهای ساده می‌توان مثلث‌های متساوی‌الساقین، قائم‌الزاویه و متساوی‌الاضلاع را ایجاد کرد. · متوازی‌الاضلاع و لوزی: با تغییر زاویه تاها می‌توان این اشکال را به راحتی ایجاد کرد. مثال عملی: ساخت "جامپر" (قورباغه کاغذی) · مفهوم ریاضی: این مدل به صورت پله‌ای تا می‌خورد و حرکت می‌کند. می‌توان از آن برای آموزش الگوها و توابع (ورودی: فشار دادن، خروجی: پرش) استفاده کرد. ۲- تقارن و تشابه (مقطع راهنمایی) فعالیت: ساخت پروانه یا برگ · تقارن محوری: دانش‌آموزان می‌فهمند که تا خط تا، یک محور تقارن ایجاد می‌کند و دو نیمه کاملاً متقارن هستند. · تشابه: اگر یک مدل (مثلاً یک قایق) را با کاغذهای در اندازه‌های مختلف بسازند، متوجه مفهوم تشابه و حفظ نسبت‌ها در شکل‌های مشابه می‌شوند. ۳- کسرها، نسبت و درصد (مقطع راهنمایی) فعالیت: تا کردن کاغذ به بخش‌های مساوی · درک عینی کسرها: از دانش‌آموزان بخواهید کاغذ را به ۲، ۴، ۸، ۱۶ و ۳۲ قسمت مساوی تا کنند. این کار مفهوم ۱/۲، ۱/۴، ۱/۸ و ... را به صورت فیزیکی و ملموس نشان می‌دهد. · تا کردن به ۳ قسمت: تا کردن یک مربع به سه قسمت مساوی چالشی است که نیاز به تخمین و دقت دارد و درک بهتری از کسر ۱/۳ ایجاد می‌کند. · نسبت و درصد: می‌توان پرسید: "اگر این قسمت تا شده ۱/۸ کاغذ است، چند درصد از کل مساحت را تشکیل می‌دهد؟" (۱۲.۵٪). ۴- قضیه‌ها و احکام هندسی (مقطع دبیرستان) فعالیت: اثبات قضیه با تا کردن · مجموع زوایای داخلی مثلث: یک مثلث کاغذی ببرید. سپس با تا کردن گوشه‌ها، سه زاویه آن را به هم برسانید. دانش‌آموزان خواهند دید که سه زاویه در کنار هم یک خط راست (۱۸۰ درجه) تشکیل می‌دهند. · مساحت مثلث: با تا کردن یک مثلث، می‌توان آن را به یک مستطیل تبدیل کرد و از این طریق فرمول مساحت (½ × قاعده × ارتفاع) را به صورت بصری اثبات کرد. ۵- مثلثات و ریشه‌ها (مقطع دبیرستان و دانشگاه) فعالیت: پیدا کردن ریشه دوم با اریگامی · ریشه √۲: با یک سری تاهای خاص می‌توان پاره‌خطی به طول √۲ (وتر یک مثلث قائم‌الزاویه با ضلع ۱) روی کاغذ واحد ایجاد کرد. · ریشه √۳ و نسبت‌های مثلثاتی: برخی از تاهای پیشرفته‌تر می‌توانند نسبت‌های مثلثاتی (سینوس، کسینوس) و زوایای معروف (۳۰، ۴۵، ۶۰ درجه) را نشان دهند. ۶- حل مسئله و تفریق الگوریتمی (همه مقاطع) فعالیت: دنبال کردن دستورالعمل · هر نمودار اریگامی یک الگوریتم تصویری است. دانش‌آموز باید: ۱. مسئله (ساخت مدل) را بفهمد. ۲. دنباله‌ای از دستورات (تاها) را به دقت و به ترتیب اجرا کند. ۳. اگر به نتیجه نرسید، اشکال‌یابی کند (عیب‌یابی یا Debug). این فرآیند، دقیقاً مشابه حل مسئله ریاضی و برنامه‌نویسی است. ۷- هندسه سه‌بعدی و حجم (مقطع راهنمایی و دبیرستان) فعالیت: ساخت اجسام سه‌بعدی · اشیای افلاطونی: می‌توان با تا کردن و مونتاژ چندین ماژول اریگامی (اریگامی ماژولار)، مکعب، هرم و دیگر اجسام افلاطونی را ساخت. · مفهوم حجم و مساحت: وقتی دانش‌آموزان یک مکعب کاغذی می‌سازند، به صورت عینی وجوه، یال‌ها و رأس‌ها را می‌بینند و درک بهتری از فرمول‌های حجم و مساحت پیدا می‌کنند. نکات کلیدی برای معلم: · شروع ساده: با مدل‌های بسیار ساده (مانند قایق یا هواپیما) شروع کنید تا دانش‌آموزان با زبان تاها آشنا شوند. · تاکید بر دقت: در اریگامی ریاضی، دقت در تا کردن بسیار مهم است. یک تا اشتباه می‌تواند به نتیجه غلط منجر شود (درست مانند یک محاسبه اشتباه). · پرسش و پاسخ: در حین تا کردن، از دانش‌آموزان سوالات ریاضی بپرسید: "این تا چه نوع خطی است؟"، "این زاویه چقدر است؟"، "این شکل چه کسری از کاغذ را پوشانده؟" · ارتباط برقرار کردن: همیشه پس از ساختن مدل، ارتباط آن را با مفهوم ریاضی به صورت واضح توضیح دهید. اریگامی پلی بین هنر و علم است و استفاده از آن در کلاس‌های ریاضی، می‌تواند یکی از لذت‌بخش‌ترین تجربیات یادگیری را برای دانش‌آموزان شما خلق کند. https://eitaa.com/mathteaching

کارگاه یکروزه رمزنگاری پسا-کوانتومی 8 مهر ماه 1404 جهت ثبت نام و کسب اطلاعات بیشتر به سایت ذیل مراجعه نمایید. https://math.ipm.ac.ir

Rita Fioresi (University of Bologna, Italy) Title: Admissible Positive Systems of Contragredient Lie Superalgebras Date and Time: Wednesday, October 1, 2025  (9 Mehr 1404)                         15:30 - 16:30 Venue link: https://zoom.us/j/93207418684?pwd=3zSmtOv8KKs35UlRhIshJqIdvFrJdt.1

فلسفهٔ فلسفهٔ ریاضی چیست؟ به زبان ساده، "فلسفهٔ فلسفهٔ ریاضی" به این معناست که ما به جای حل مسائل ریاضی، دربارهٔ خودِ "ریاضیات" سؤال میپرسیم. تصور کنید شما در حال تماشای یک مسابقهٔ فوتبال هستید. · یک نفر ممکن است بپرسد: "چرا فلان بازیکن اینطور شوت زد؟" (این مانند خودِ ریاضیات است). · اما فیلسوف ریاضی میپرسد: "اصلاً قوانین فوتبال از کجا آمده؟ چرا خطای آفساید وجود دارد؟ آیا این قوانین حقیقی و ابدی هستند یا انسان آنها را اختراع کرده؟" (این مانند فلسفهٔ ریاضی است). حالا "فلسفهٔ فلسفهٔ ریاضی" یک گام بالاتر میرود و میپرسد: "اصلاً چرا ما باید چنین سؤالاتی دربارهٔ ریاضیات بپرسیم؟ هدف از این پرسشها چیست و چه اهمیتی دارند؟" سؤالات کلیدی که فلسفهٔ ریاضی میپرسد: 1. اشیاء ریاضی (مثل اعداد) واقعاً چه هستند؟ · مثال: عدد "۵" چیست؟ آیا یک شیء فیزیکی است؟ شما نمیتوانید یک "۵" خالص را در طبیعت پیدا کنید. شما پنج سیب یا پنج درخت میبینید. پس عدد ۵ به خودی خود کجاست؟ 2. چرا ریاضیات اینقدر در توصیف جهان واقعی مؤثر است؟ · مثال: فیزیکدانان با معادلات دیفرانسیل پیچیده، مسیر حرکت سیارات را پیشبینی میکنند یا وجود یک ذرهٔ جدید (مثل بوزون هیگز) را قبل از کشف تجربی پیشگویی میکنند. چرا زبانی که انسان آن را در ذهن خود ساخته (ریاضیات)، اینقدر دقیق با جهان فیزیکی همخوانی دارد؟ 3. مبنای حقیقت در ریاضیات چیست؟ · مثال: چگونه میدانیم که "۲ + ۲ = ۴" همیشه و در همه جای جهان درست است؟ آیا این یک "کشف" است یا یک "توافق"؟ حالا، "فلسفهٔ فلسفهٔ ریاضی" به این سؤالات چه ربطی دارد؟ "فلسفهٔ فلسفهٔ ریاضی" به خودِ این فرآیند فکر کردن نگاه میکند و میپرسد: · "هدف نهایی از پرسیدن این سؤالات دربارهٔ ریاضیات چیست؟" · آیا میخواهیم به یک "حقیقت نهایی" دربارهٔ ریاضیات برسیم؟ · یا صرفاً میخواهیم بفهمیم ریاضیات چگونه در بافتار فکر و فرهنگ انسانی جای گرفته است؟ · "روشهای ما برای تحلیل فلسفهٔ ریاضی تا چه اندازه معتبر هستند؟" · آیا باید از خودِ ریاضیات استفاده کنیم؟ یا از روانشناسی، تاریخ یا جامعه شناسی؟ · "آیا پاسخ نهایی و قطعی برای پرسشهای فلسفهٔ ریاضی وجود دارد؟" · یا اینکه این پرسشها خود بخشی از فعالیت ریاضی هستند و همیشه باز میمانند؟ یک مثال ساده برای جمعبندی: فرض کنید سه مکتب اصلی در فلسفهٔ ریاضی داریم: 1. افلاطونگرایی: معتقد است اعداد و اشیاء ریاضی، مانند ایدههای "مثل افلاطونی"، در یک جهان مستقل و ابدی وجود دارند و ریاضیدانان آنها را کشف میکنند. · مثال: یک ریاضیدان مانند کاشفی است که قلهٔ یک کوه پنهان در ابرها (حقیقت ریاضی) را پیدا میکند. 2. صورتگرایی: معتقد است ریاضیات یک بازی با سمبلها و قواعد است (مثل بازی شطرنج). اعداد به خودی خود معنایی ندارند، ما فقط طبق قواعد با آنها کار میکنیم. · مثال: ریاضیات مانند بازی "مونوپولی" است. پول و املاک در این بازی در جهان واقعی وجود ندارند، اما ما طبق قواعد خاصی با آنها بازی میکنیم. 3. شهودگرایی: معتقد است ریاضیات بر پایهٔ شهود اولیهٔ انسانی دربارهٔ "زمان" و "تکرار" بنا شده است. (مثلاً مفهوم "یک، دو، سه، ..." از شهود ما میآید). · مثال: پایهٔ ریاضیات بر درک ذهنی ما از "توالی" استوار است. وقتی میگوییم "بعدی"، این یک احساس درونی است. حالا، "فلسفهٔ فلسفهٔ ریاضی" میآید و به این سه نگاه میکند و میپرسد: "خب،وقتی این سه دیدگاه کاملاً متفاوت را با هم مقایسه میکنیم، چه نتیجهای دربارهٔ ماهیت "فهم" و "معرفت" انسانی میگیریم؟ آیا این بحثها فقط یک جور ورزش فکری است یا واقعاً بر نحوهٔ انجام و آموزش ریاضیات تأثیر میگذارد؟" فلسفهٔ ریاضی به سؤالاتی دربارهٔ خودِ ریاضیات (اشیاء، حقیقت، کاربرد) میپردازد. فلسفهٔ فلسفهٔ ریاضی یک گام به عقب برمیدارد و به سؤالاتی دربارهٔ خودِ این فعالیت (اهداف، روشها، و معنای فلسفیدن دربارهٔ ریاضی) میپردازد. این حوزه به ما کمک میکند عمیقتر فکر کنیم و بفهمیم که چرا اساساً چنین پرسشهای بنیادینی برای بشر اهمیت دارند. https://eitaa.com/mathteaching

اجازه بدهید در مورد فلسفه گنگ بودن رادیکال ۲ کمی صحبت کنیم بطور خلاصه می توان گفت: فلسفهٔ گنگ بودن رادیکال ۲ این است که این عدد، یک حقیقت ریاضی اجتناب‌ناپذیر و مستقل را نشان می‌دهد که ذهن انسان آن را کشف کرده، نه اینکه آن را اختراع کرده باشد. این کشف، اولین بار نشان داد که جهان اعداد، بسیار غنی‌تر و عجیب‌تر از تصورات اولیه بشر است. تبیین ساده با یک داستان تاریخی: ۱. بحران در مکتب فیثاغورسی (حدود ۵۰۰ قبل از میلاد): · فیثاغورسیان جامعه‌ای از ریاضیدانان-فیلسوفان بودند که معتقد بودند "همه چیز عدد است" و همهٔ اعداد و نسبت‌ها در جهان را می‌توان با کسری از اعداد طبیعی (مانند ۱/۲، ۳/۴، ...) بیان کرد. به این اعداد "گویا" می‌گوییم. · آن‌ها جهان را منظم، قابل پیش‌بینی و بر پایهٔ نسبت‌های ساده می‌دانستند. ۲. یک معمای هندسی ساده: · یک مربع با ضلع ۱ در نظر بگیرید. قطر این مربق چقدر است؟ · طبق قضیه فیثاغورث، اندازهٔ قطر (d) برابر است با رادیکال۲ ۳. مشکل کجا بود؟ · فیثاغورسیان سعی کردند رادیکال ۲ را به صورت یک کسر (عدد گویا) بنویسند (که در آن صورت و مخرج اعداد صحیح باشند). · اما هر چه کردند، به یک تناقض منطقی رسیدند. آنها اثبات کردند که چنین کسری وجود ندارد. که اگر فرض کنیم چنین کسری وجود دارد به این نتیجه می‌رسیم که هم صورتو هم مخرج باید زوج باشند، که با "ساده‌ترین شکل" در تناقض است. این یعنی چنین کسری اصلاً وجود ندارد. · این کشف برای آن‌ها یک شوک فلسفی بزرگ بود! این کشف، بنیان اعتقادشان ("همه چیز عدد گویا است") را ویران کرد. حتی افسانه‌ها می‌گویند که هیپاسوس، کسی که این راز را فاش کرد، به عنوان مجازات غرق شد! اکنون، فلسفهٔ پشت این مسئله چیست؟ این کشف سؤالات بنیادینی را دربارهٔ ماهیت ریاضیات مطرح کرد: ۱. کشف در برابر اختراع (Discovery vs. Invention): · آیا رادیکال ۲ قبل از اینکه فیثاغورسیان آن را "بیابند"، وجود داشت؟ · دیدگاه افلاطونی: بله! رادیکال ۲ یک حقیقت ابدی و مستقل از ذهن انسان بود. قطر مربعی به ضلع ۱، همواره رادیکال ۲ است، چه ما بدانیم چه ندانیم. ما فقط آن را کشف کردیم. · دیدگاه صورت‌گرایی: رادیکال ۲ صرفاً یک نتیجه‌گیری از درون یک "بازی" با قواعد مشخص (هندسه اقلیدسی و قضیه فیثاغورث) است. ما آن را ساختیم. ۲. رابطهٔ جهان فیزیکی و جهان ریاضی: · مربع و قطر آن، اشکالی هستند که در جهان فیزیکی به وفور یافت می‌شوند (مثلاً در معماری). اما عددی که اندازه‌ی قطر را نشان می‌دهد رادیکال ۲، یک مفهوم کاملاً انتزاعی و "گنگ" است. · این موضوع نشان می‌دهد که ریاضیات، زبانی است که جهان فیزیکی را در عمیق‌ترین سطحش توصیف می‌کند، حتی اگر آن توصیف، برخلاف شهود اولیهٔ ما باشد. ۳. محدودیت شهود انسانی: · ذهن انسان به طور طبیعی با اعداد کامل و کسرها راحت‌تر است. کشف اعداد گنگ نشان داد که حقیقت ریاضی، فراتر از شهود و درک اولیهٔ ماست. ریاضیات با منطق، ما را به سوی حقایقی می‌برد که ممکن است در نگاه اول غیرممکن به نظر برسند. فلسفهٔ گنگ بودن رادیکال ۲ این است که این عدد، نمادی است از: · حقیقتی ناگزیر که از درون منطق ریاضی سر بر می‌آورد. · عظمت و غنای جهان ریاضی که همیشه بزرگ‌تر از تصورات محدود ماست. · توانایی ریاضیات در آشکار کردن حقایق پنهان در پدیده‌های ساده (مانند یک مربع). به بیان دیگر، رادیکال ۲ پنجره‌ای بود به سوی این درک که جهان ریاضیات، سرزمینی بی‌کران و مملو از شگفتی‌هایی است که در انتظار کشف شدن هستند. https://eitaa.com/mathteaching

فلسفه ریاضیات، که شاید در نگاه اول یک رشته کاملاً انتزاعی و دانشگاهی به نظر برسد، در واقع می‌تواند نقش بسیار مهم و کاربردی در بهبود آموزش ریاضیات در مدارس ایفا کند. در اینجا به چند روش کلیدی که فلسفه ریاضی به آموزش ریاضی مدرسه کمک می‌کند، می‌پردازیم: ۱. تغییر نگرش از "ریاضی به عنوان مجموعه ای از قوانین" به "ریاضی به عنوان یک فعالیت استدلالی و اکتشافی" مشکل رایج در مدارس: بسیاری از دانش آموزان ریاضی را مجموعهای از فرمولها و روشهای حفظی میدانند که باید بدون چون و چرا یاد بگیرند. کمک فلسفه ریاضی: فلسفه ریاضی بر ماهیت "استدلال"، "برهان" و "کشف" در ریاضیات تأکید دارد. این نگرش به معلمان کمک میکند تا: • بر تفکر انتقادی تأکید کنند: به جای گفتن "این فرمول را حفظ کن"، از دانش آموزان میپرسند "چرا این فرمول درست است؟" یا "چطور میتوانیم به این نتیجه برسیم؟" • فضای پرسشگری ایجاد کنند: به دانش آموزان اجازه میدهند سوال بپرسند و حتی در مورد بدیهیاتی که به نظر میرسد ساده هستند، کنجکاو شوند. این کار، ریاضیات را از یک علم خشک به یک ماجراجویی فکری تبدیل میکند. مثال: به جای آموزش مستقیم قضیه فیثاغورث، معلم میتواند با طرح یک مسئله عملی (مثلاً پیدا کردن طول نردبان) دانش آموزان را به سمت کشف رابطه بین اضلاع مثلث قائم الزاویه هدایت کند. ۲. درک عمیقتر مفاهیم پایه (مثل اعداد و اشکال) مشکل رایج در مدارس: دانش‌آموزان ممکن است مفهوم "عدد" را تنها به عنوان نمادی در کتاب درک کنند، بدون اینکه بدانند این مفهوم چگونه و چرا به وجود آمده است. مکاتب مختلف فلسفی (مانند شهودگرایی، منطق گرایی، صورتگرایی) درباره ماهیت اعداد و اشکال هندسی بحث کرده‌اند. این بحثها به معلمان کمک میکند تا: • مفاهیم را به دنیای واقعی پیوند دهند: نشان دهند که اعداد چگونه برای "شمارش" و اندازه گیری به وجود آمدهاند (نگاه ساختگرایی). • ابهامات را برطرف کنند: به سوالاتی مانند "صفر چیست؟" یا "بینهایت یعنی چه؟" با زبانی ساده پاسخ دهند. درک این مفاهیم پایه، بنیان محکمی برای یادگیری مفاهیم پیچیده‌تر میسازد. ۳. تقویت توانایی "اثبات" و "توجیه" مشکل رایج در مدارس: دانش آموزان اغلب در درک "برهان"های ریاضی مشکل دارند و آن را بی‌معنی میدانند. فلسفه ریاضی به ما میگوید که یک "برهان" قانع کننده چیست و چرا برهانها ستون فقرات ریاضیات هستند. این درک به معلمان کمک میکند تا: • برهانها را به زبان ساده توضیح دهند: به جای ارائه یک برهان خشک و صوری، آن را به یک داستان منطقی تبدیل کنند که دانش اموزان آن را بتوان درک کنند • از انواع برهان استفاده کنند: برهانهای بصری، استدلالهای کلامی و حتی فعالیتهای عملی میتوانند مفاهیم برهان را برای دانش آموزان ملموس کنند. هدف این است که دانش آموز بتواند ادعای ریاضی خود را به طور منطقی توجیه کند، نه فقط یک برهان کتاب را حفظ کند. ۴. کاهش اضطراب ریاضی و افزایش انگیزه مشکل رایج در مدارس: بسیاری از دانش‌آموزان از ریاضی میترسند زیرا آن را مملو از قوانین غیرقابل درک و مستعد اشتباه میدانند. کمک فلسفه ریاضی: • انسانی کردن ریاضیات: با معرفی تاریخچه ریاضی و داستان فیلسوفان و ریاضیدانان (مانند اقلیدس، فیثاغورث، یا غیاث الدین جمشید کاشانی)، ریاضیات را به عنوان یک تلاش انسانی و در حال تکامل نشان میدهیم. این کار باعث میشود دانش آموزان احساس نزدیکی بیشتری با این علم کنند. • تأکید بر فرآیند، نه فقط نتیجه: فلسفه ریاضی بر اهمیت "تفکر" و "استدلال" تأکید دارد، نه صرفاً رسیدن به جواب نهایی. وقتی دانش آموزان بدانند که حتی بزرگترین ریاضیدانان هم گاهی در مسیر حل مسئله اشتباه میکنند، ترس آنها از اشتباه کردن کمتر میشود. ۵. پاسخگویی به سوالات بنیادین و کنجکاوی دانش آموزان دانش‌آموزان کنجکاو اغلب سوالاتی میپرسند که ریشه در فلسفه ریاضی دارد: • "چه کسی صفر را اختراع کرد؟" • "بزرگترین عدد چیست؟" • "اگر یک خط را تا بینهایت ادامه دهیم، چه میشود؟" • "آیا اعداد حقیقی وجود دارند؟" یک معلم آگاه به مبانی فلسفی ریاضیات میتواند پاسخهای قانع کننده و جذابی به این سوالات بدهد و جرقه کنجکاوی دانش آموزان را به شعله علاقه تبدیل کند. فلسفه ریاضیات مانند "نقشه راه" یا "کوله پشتی ابزار فکری" برای معلمان ریاضی است. این فلسفه به آنها کمک میکند تا: • عمق مفهومی را جایگزین حفظ سطحی کنند. • پرسشگری را جایگزین پذیرش کورکورانه کنند. • لذت کشف را جایگزین ترس از اشتباه کنند. در نهایت، هدف این نیست که مباحث پیچیده فلسفی را مستقیماً به دانش آموزان دبستانی یا دبیرستانی آموزش دهیم، بلکه هدف این است که معلمان از این نگرش فلسفی برای غنی تر کردن، عمیقتر کردن و انسانی تر کردن فرآیند آموزش ریاضی استفاده کنند. این کار نه تنها فهم ریاضی دانش آموزان را بهبود میبخشد، بلکه https://eitaa.com/mathteaching