🔷 یک معما از نظریهٔ احتمال
در ریاضیات مسئلههایی هست که صورتشان بسیار ساده ولی حلشان بسیار دشوار است، مثل قضیهٔ آخر فرما¹ و حتی بعضیشان هنوز حل نشدهاند، مثل حدس گلدباخ².
گاهی اوقات هم به مسئلههایی برمیخوریم که هم صورتشان نسبتاً ساده است و هم حلشان، ولی تعداد کسانی که موفق به حل آنها میشوند زیاد نیست. در نظریهٔ احتمال از اینجور مسئلهها زیاد پیدا میشود. نظریهٔ احتمال از آن حوزههایی است که کمتر شهودی است و خیلیوقتها عقل متعارف را به چالش میکشد.
مسئلهٔ زیر هم یکی از همینهاست. اگر نتوانستید حلش کنید ناامید نشوید. در منبعی که این مسئله را پیدا کردم گفتهشدهبود که کمتر از ۱۰ درصد از جوابهای رسیده درست بودهاست [1]. حداقل فایدهٔ کلنجار رفتن با مسائل آمار و احتمال این است که به تقویت مهارتهای تفکر نقادانه کمک میکند.
آلیس و باب سکهای را ۱۰۰ بار پرتاب میکنند. هر بار که دو شیر پشتسرهم بیاید (HH) آلیس یک امتیاز میگیرد و هر بار که یک خط بعد از یک شیر بیاید (HT) باب یک امتیاز میگیرد. مثلاً در دنبالهٔ THHHT آلیس ۲ امتیاز و باب ۱ امتیاز میگیرد. احتمال برد کدامیک بیشتر است؟ آلیس یا باب؟
حل مسئله و توضیحات بیشتر دربارهٔ آن و چند مسئلهٔ مشابه را میتوانید در مرجع [2] ببینید.
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
1. قضیهٔ آخر فرما: اگر n یک عدد طبیعی بزرگتر از ۲ باشد، هیچ سهتایی (x, y, z) از عددهای طبیعی وجود ندارد بهطوریکه: xⁿ+yⁿ=zⁿ.
2. حدس گلدباخ: هر عدد زوج بزرگتر از ۲ را میتوان بهشکل حاصلجمع دو عدد اول نوشت. این حدس هنوز اثبات نشده است.
مراجع:
[1] https://x.com/QuantaMagazine/status/1834231328524361813?t=jJYao-8DsfMe_dlIiOkcZA&s=35
[2] https://www.quantamagazine.org/perplexing-the-web-one-probability-puzzle-at-a-time-20240829/
🍀https://eitaa.com/mathteaching
پرگار زمستانی - سال ۱۴۰۳.pdf
حجم:
8M
فصل نامه کمیته علمی المپیاد ریاضی زمستان ۱۴۰۳
Does One Have to be a Genius to Do Maths1 (1).pdf
حجم:
111K
🔷 آیا برای ریاضی ورزیدن باید نابغه بود؟
این ترجمهٔ مقالهای از تِرِنس تائو، استاد دانشگاه UCLA و برندهٔ مدال فیلدز در سال ۲۰۰۶ است. تائو در وبلاگش توصیههای مفصل دیگری نیز برای دانشجویان و پژوهشگران دارد که دیدنش خالی از لطف نیست.
راهنمای حل مسئله
برای یادگیری درسهای رشتههایی همچون فیزیک و ریاضی و بسیاری از رشتههای فنی و مهندسی باید مسئله حل کرد؛ مسئلههایی که ساختار و صورتبندی ریاضی دارند.
دانشجویان، بهطور معمول، خودشان علاقهای به حل کردن مسئله ندارند مگر اینکه تعدادی مسئله بهعنوان تکلیف برایشان تعیین شده باشد و تحویل آنها هم نمره داشته باشد. متأسفانه اغلب به این نکته توجه نمیشود که مسئلهحلکردن بخشی از فرایند یادگیری است و نباید فقط بهعنوان تکلیفی تلقی شود که تنها خاصیتش کسب نمره است. تجربهٔ شخصی من، ازجمله در همین ترم اخیر، نشان میدهد که دانشجویانی که اهتمام بیشتری به حل مسئله و تحویل منظم تکالیف دارند، معمولاً در آزمونها هم موفقترند بهطوریکه همبستگی بسیار بالایی میان تحویل منظم تکالیف و موفقیت در آزمون وجود دارد.
دلایل زیادی برای بیعلاقگی دانشجویان به حل مسئله میتوان برشمرد. یکی از آنها که در بالا نیز به آن اشاره کردم بیتوجهی به اهمیت حل مسئله در فرایند یادگیری است. یک دلیل مهم دیگر احتمالاً این است که هنگام مواجهه با یک مسئله سردرگم هستیم و این سردرگمی ما را کلافه و دلسرد میکند. نمیدانیم از کجا باید شروع کنیم، ابزار و رهیافت مناسب برای حل مسئله چیست، از کجا مطمئن شویم که در مسیر درست حرکت میکنیم و چطور از درستی جواب اطمینان حاصل کنیم.
برای رفع این سردرگمیها راهنماها و کتابهای متعددی وجود دارد، ازجمله کتابهای خواندنی و مفیدی که ریاضیدان شهیر مجارستانی، جرج پولیا، نوشته است و به فارسی هم ترجمه شدهاند. خواندن آنها البته حوصله میخواهد. برای کسب مهارت در حل مسئله راه میانبر وجود ندارد. تمرین و مرارت نیاز دارد. بااینهمه برای کسانی که نیاز به یک تلنگر اولیه برای حرکت در این مسیر دارند، توصیههای کوتاه چندخطی هم پیدا میشود. یکی از آنها را میتوانید در فایل زیررا ببینید. این راهنما را یکی از اساتید ریاضی دانشگاه کورنل نوشته و به نظرم نکات کاربردی و مفیدی در آن هست. توجه کنید که با خواندن این راهنما بهناگهان خداوندگار حل مسئله نخواهید شد ولی میتوانید آن را چاپ کنید، روی میزتان بگذارید و هر بار که سراغ حل مسئله میروید نگاهی به آن بیندازید و نکاتش را مرور کنید. احتمالش کم نیست که بعد از چند ماه تمرین با روشی که در این راهنما پیشنهاد شده، تحولی اساسی در تواناییتان در حل مسئله پدیدار شود، طوری که خودتان هم تعجب کنید.
امتحانش ضرری ندارد.