امروز تولد آبل هست، متولد ۱۸۰۲ و در گذشته در ۱۸۲۹. یکی از پیشروترین ریاضیدان های قرن نوزدهم و احتمالا بزرگترین نابغه اسکاندیناوی. به همراه معاصرانش مثل گاوس و کوشی از پیشگامان ریاضیات جدید بود و تاکید بر اثبات دقیق داشت. فقر و گمنامی دو تا از مشخصه های زندگی کوتاهش بود. در برابر دستاوردهای درخشانش در جوانی متواضع بود و در مقابل مرگ زودهنگامش تسلیم.در ۱۶ سالگی نبوغش آشکار شد. از همون موقع کارهای نیوتن، اویلر و لاگرانژ رو مطالعه می کرد. جمله معروفی داره که تشویق می کنه به مطالعه آثار بزرگان برای پیشرفت در ریاضی. در جوانی یک مساله کلاسیک مربوط به معادلات انتگرالی رو حل کرد. همین طور ثابت کرد معادله درجه ۵ رو نمی شه برحسب رادیکال حل کرد. با مشقت به آلمان رفت و در اونجا با دوست و حامی خودش لئوپولد کرل آشنا شد. مجله ریاضیات محض و کاربردی رو منتشر کردند که اولین مجله ادواری ریاضی بود. سه شماره اول شامل ۲۲ مقاله از آبل بود.ظاهرا جزوه مربوط به معادلات درجه پنجم رو برای گاوس فرستاد(به امید جواز عبور علمی) و گاوس به دلایلی که معلوم نیست حتی به اون نگاه هم نکرده. در پاریس هم با کوشی، لژاندر، دیریکله و...ملاقات های سرسری داشت و درست شناخته نشد. در همون سال ها شاهکار خودش درباره توابع متعالی رو چاپ کرد. بدبیاری هاش تمومی نداشت، این اثر هم مورد توجه قرار نگرفت. بعدها نسخه اصلی مقاله رو در سال ۱۹۵۲ در فلورانس پیدا کردند! در حالی که با مشکلات مالی دست و پنجه نرم می کرد به نروژ برگشت. انتظار داشت استاد دانشگاه بشه و باز هم نشد.با تدریس خصوصی روزگار می گذروند. آوازه کارهاش کم کم در اروپا پیچید ولی خودش از این موضوع بی خبر بود و در ۲۶ سالگی براثر سل در گذشت. در زمانی که زنده بود اون طور که باید قدر ندید و در فقر و گمنامی در گذشت. برخی از اصطلاحات ریاضی که به نامش هست:معادله انتگرالی آبل، توابع آبل، گروه های آبلی، سری آبل، فرمول مجموع جزئی آبل، قضیه حد آبل در نظریه سری های توانی، جمع پذیری آبل و...منبع: کتاب معادلات دیفرانسیل سیمونز
فرض کنید شما یک ملوان ریاضیدان هستید که روی دریا روی یک قایق هستید و کف قایق یک سوراخ کاملاً استوانهای داره. تنها چیزی که همراه دارید مجموعهای از همهی توپهای نرم p هست، البته به جز p=2 (یعنی عملا کره رو ندارید). برای نجات خودتون چیکار می کنید؟
ظاهرا همه (یا بیشتر) AI ها در جواب دادن به این سوال موندند.
منظور از توپ های نرم p همه نقاط در فضای اقلیدسی Rn که نرم آن کوچکتر یا مساوی یک است.
ادوارد کومر (Ernst Eduard Kummer; 29 ژانویه 1810 – 14 مه 1893)، ریاضیدان آلمانی، یکی از چهره های برجسته قرن نوزدهم، به ویژه در زمینه های نظریه اعداد و هندسه جبری بود. زندگی و کارهای او نقشی اساسی در پیشرفت ریاضیات مدرن داشت.
کومر در ۲۹ ژانویه ۱۸۱۰ در سورائو (Sorau)، شهری در براندنبورگِ پروس (اکنون لهستان) به دنیا آمد.
از کودکی نبوغ ریاضیاش آشکار بود. پدرش، یک پزشک، زمانی که کومر تنها ۳ سال داشت درگذشت و مادرش مسئولیت بزرگ کردن او را به تنهایی بر عهده گرفت.
در سال ۱۸۲۸ وارد دانشگاه هاله-ویتنبرگ (Halle-Wittenberg) شد. ابتدا قصد داشت الهیات بخواند، اما استعداد درخشانش در ریاضیات توسط استادش، هاینریش فردیناند شرک (Heinrich Ferdinand Scherk)، کشف شد و او را به سمت ریاضیات سوق داد. رساله دکترایش (۱۸۳۱) در مورد تابع هایپرهندسی بود که نشاندهنده تسلط او بر آنالیز بود.
پس از دکترا، به دلایل مالی، به جای کار در دانشگاه، به مدت ۱۰ سال (۱۸۳۲–۱۸۴۲) به عنوان معلم ریاضی و فیزیک در یک دبیرستان (Gymnasium) در لیگنیتس (Liegnitz، اکنون لهستان) مشغول شد.
او در این دوران معلم استثنایی بود و شاگردان درخشانی مانند لئوپولد کرونکر (Leopold Kronecker) و فردیناند آیزنشتاین (Ferdinand Eisenstein) را تربیت کرد که خود از بزرگان ریاضیات شدند.
در همین دوران تدریس در دبیرستان بود که کومر به طور عمیق به نظریه اعداد، بهویژه مسائل مربوط به قضیه آخر فرما (Fermat's Last Theorem) و قانون تقابل درجه دوم (Quadratic Reciprocity) پرداخت.
بزرگترین دستاورد کومر در همین دوره شکل گرفت. او متوجه شد که تجزیه یکتا به عوامل اول در حلقههای اعداد صحیحِ میدانهای جبری (مثل اعداد صحیح گاوسی) همیشه برقرار نیست. این مشکل حل اثباتهای عمومی قضیه آخر فرما را مختل میکرد. کومر برای غلبه بر این مشکل، مفهوم انقلابی «اعداد ایدهآل» (Ideal Numbers) را در سال ۱۸۴۶ معرفی کرد. این مفهوم بعدها توسط ریچارد ددکیند به «ایدهآلها» (Ideals) در نظریه حلقهها تعمیم یافت و سنگ بنای جبر مجرد مدرن و نظریه جبری اعداد شد. این کار راه را برای پیشرفتهای عظیم بعدی باز کرد.
شهرت کومر به عنوان یک نظریهپرداز اعداد برجسته باعث شد تا در سال ۱۸۵۵، به عنوان جانشین پیتر گوستاف لژون دیریکله (Peter Gustav Lejeune Dirichlet) به دانشگاه فریدریش ویلهلم برلین (اکنون دانشگاه هومبولت برلین) دعوت شود.
او به همراه کارل وایرشتراس (Karl Weierstrass) که در آنالیز تخصص داشت، ریاضیات برلین را به اوج شکوفایی رساندند. کومر مسئول نظریه اعداد و هندسه و وایرشتراس مسئول آنالیز بود.
کومر از سال ۱۸۶۳ تا ۱۸۷۸ رئیس دانشکده ریاضی برلین بود. او عضو آکادمی علوم پروس و بسیاری از آکادمیهای علمی معتبر اروپا شد و مدالها و افتخارات متعددی دریافت کرد.
او استاد فوقالعادهای بود و نسل جدیدی از ریاضیدانان برجسته، از جمله هرمان فون هلمهولتز (Hermann von Helmholtz)، لازاروس فوکس (Lazarus Fuchs) و گئورگ کانتور (Georg Cantor) را آموزش داد.
در این دوره، کومر به هندسه جبری نیز علاقهمند شد. او سیستمهای خاصی از سطوح جبری مرتبه ۴ را مطالعه کرد که امروزه به نام سطوح کومر (Kummer Surfaces) شناخته میشوند. این سطوح خواص جبری و هندسی جالبی دارند و در نظریه ریسمانها نیز ظاهر شدهاند.
دستاوردهای عمده او عبارت بودند از:
1. نظریه ایدهآلها: معرفی مفهوم اعداد ایدهآل برای نجات تجزیه یکتا در میدانهای عددی جبری. این پایه نظریه جبری اعداد مدرن را بنا نهاد.
2. پیشبرد قضیه آخر فرما: هرچند خودش قضیه آخر فرما را اثبات نکرد، اما با کشف ایدهآلها و روشهای قدرتمندش (مانند معیار کومر)، قضیه را برای دسته بزرگی از توانهای اول (**اعداد اول منظم**) اثبات کرد و چارچوبی اساسی برای تلاشهای بعدی (منجر به اثبات نهایی توسط اندرو وایلز) فراهم نمود.
3. سطوح کومر: کار پیشگامانه در مطالعه سطوح جبری مرتبه ۴ و کشف خانواده مهمی از آنها.
4. تابع هایپرهندسی: کارهای اولیه مهم در این زمینه.
5. سهم در آنالیز و مکانیک: کارهایی در سریهای هذلولوی و مکانیک (مثل توپ کومر).
6. معلمی برجسته: تربیت نسل درخشانی از ریاضیدانان قرن نوزدهم.
کومر در سال ۱۸۸۳ از دانشگاه برلین بازنشسته شد و ریاست دپارتمان ریاضی به لئوپولد کرونکر (شاگرد سابقش) رسید.
او در ۱۴ مه ۱۸۹۳ در برلین درگذشت.
https://eitaa.com/mathteaching
زندگی لئونارد اویلر (Leonhard Euler; 1707–1783)، یکی از بزرگترین ریاضیدانان و فیزیکدانان تاریخ، داستانی شگفت انگیز از نبوغ، پشتکار خستگیناپذیر و تولید علمی بیسابقه است. او بیش از هر ریاضیدان دیگری مقاله و کتاب منتشر کرد و تقریباً در تمام شاخه های ریاضیات و فیزیک نظری دوران خود انقلابی ایجاد نمود.
اویلر در ۱۵ آوریل ۱۷۰۷ در بازل (Basel)، سوئیس، در خانوادهای مذهبی (پدر کشیش پروتستان) به دنیا آمد.
نبوغ ریاضی او از کودکی آشکار شد. پدرش ریاضیات مقدماتی را به او آموخت، اما قصد داشت پسرش نیز راه او را در الهیات پیش گیرد.
در ۱۳ سالگی (۱۷۲۰) وارد دانشگاه بازل شد. در ۱۶ سالگی کارشناسی ارشد فلسفه گرفت. در این دوره، استعدادش توجه یوهان برنولی (Johann Bernoulli)، بزرگترین ریاضیدان اروپای آن زمان را جلب کرد. برنولی به طور خصوصی هفته ای یک بار به او درس میداد و او را تشویق به تمرکز بر ریاضیات کرد.
اویلر با وجود فشار خانواده برای تحصیل الهیات، با حمایت برنولی به ریاضیات روی آورد و در ۱۹ سالگی (۱۷۲۶) رساله دکتری خود را درباره انتشار صوت دفاع کرد. در ۱۷۲۷، به دعوت آکادمی علوم سن پترزبورگ (تازهتأسیس توسط پتر کبیر) به روسیه رفت. ابتدا در بخش پزشکی/فیزیولوژی کار کرد، اما پس از مرگ زودهنگام ریاضیدانان ارشد، به بخش ریاضیات منتقل شد.
در این ۱۴ سال، با وجود شرایط سخت (آبوهوا، سیاست)، حجم عظیمی از کارهای بنیادین را انجام داد:
* کتاب *مکانیکا* (Mechanica; 1736) که دینامیک نیوتنی را با حسابان پیشرفته بازتعریف کرد.
* اثبات قضیه کوچک فرما و آغاز کار روی تابع زتای ریمان (قبل از ریمان).
* توسعه حسابان دیفرانسیل و انتگرال، معرفی نمادهای مدرن مانند
f(x)برای تابع،
eبرای پایه لگاریتم طبیعی،
Σبرای جمع،
iبرای واحد موهومی. * کار بر روی نظریه موسیقی، نورشناسی، و سیالات. * در ۱۷۳۸، بر اثر کار طاقت فرسا و شرایط آبوهوایی، بینایی یک چشمش را از دست داد. پزشکان اشتباهاً آن را ناشی از آبمروارید تشخیص دادند. با افزایش ناآرامیهای سیاسی در روسیه، دعوت فردریک کبیر را پذیرفت و به آکادمی علوم برلین رفت. * در این ۲۵ سال، مهمترین آثارش را خلق کرد و به شهرت جهانی رسید: * آنالیز ریاضی: کتاب *مقدمهای بر آنالیز بینهایت کوچکها* (Introductio in analysin infinitorum; 1748) که پایههای آنالیز مدرن و توابع تحلیلی را بنا نهاد. معرفی فرمول اویلر (
e^{iθ} = cosθ + i sinθ) و همسانی اویلر (e^{iπ} + 1 = 0).
* حل مساله بازل: اثبات Σ (1/n²) = π²/6(۱۷۳۴، اما انتشار در ۱۷۴۰). * نظریه گراف: حل مسأله پلهای کونیگسبرگ (۱۷۳۶) و بنیانگذاری نظریه گراف. * مکانیک سیالات: معادلات دینامیک سیالات اویلر. * اخترشناسی: محاسبات دقیق مدار سیارات و ماه. * تولید انبوه: صدها مقاله در زمینه های مختلف ریاضی و فیزیک. اویلر در ۱۷۶۶ به سن پترزبورگ بازگشت. کمی پس از بازگشت، بینایی چشم دیگرش را نیز از دست داد و کاملاً نابینا شد. باورنکردنی است که نابینایی نه تنها او را متوقف نکرد، بلکه بهرهوری اش افزایش یافت! با کمک پسرانش (بهویژه یوهان آلبرشت) و کاتبان، با تکیه بر حافظه کمنظیر و قدرت محاسباتی ذهنی، برخی از عمیقترین آثارش را خلق کرد: * جبر: کتاب *جبر کامل* (Vollständige Anleitung zur Algebra; 1770) که برای نسلها مرجع اصلی جبر بود. * مکانیک: کتاب *نظریه حرکات اجسام سخت* (Theoria motus corporum solidorum; 1765) که مکانیک لاگرانژی را پیشبینی کرد. * نظریه اعداد: انتشار *جبر کامل* و کار بر روی قضیه آخر فرما. * فیزیک ریاضی: توسعه نظریه ماه و جزر و مد اویلر تقریباً در همه شاخه های ریاضیات و فیزیک نظری دستاوردهای ماندگار دارد: 1. نمادسازی: معرفی نمادهای استاندارد:
f(x),
e,
i,
Σ,
π(به عنوان عدد)،
sin/cos/tanو بسیاری دیگر. 2. آنالیز ریاضی: * توسعه حسابان دیفرانسیل و انتگرال. * فرمول اویلر:
e^{ix} = cos x + i sin x و همسانی اویلر: e^{iπ} + 1 = 0.
* حل مسأله بازل (Σ 1/n² = π²/6). * تابع گاما (تعمیم فاکتوریل). 3. نظریه اعداد: * قضیه کوچک فرما. * تابع فی اویلر (φ(n)) و قضیه اویلر در همنهشتی. * پایهگذاری نظریه تحلیلی اعداد (کار بر تابع زتا). https://eitaa.com/mathteaching
4. نظریه گراف: حل مسأله پلهای کونیگسبرگ و بنیانگذاری نظریه گراف.
5. هندسه: فرمول ویتلر-اویلر برای چندوجهیها (
V - E + F = 2). 6. مکانیک و فیزیک ریاضی: * معادلات دینامیک سیالات اویلر. * معادلات حرکت جسم صلب. * نظریه پرتابه ها، نورشناسی و آکوستیک. 7. اخترشناسی: محاسبات دقیق نجومی و نظریه حرکت ماه. در ۱۸ سپتامبر ۱۷۸۳، پس از محاسبه مدار اورانوس و گفتگو با همکاران درباره کشف بالون هوای گرم، دچار سکته مغزی شد. همان روز در سن ۷۶ سالگی در سن پترزبورگ درگذشت.