✅ سؤال 20 Which one is NOT given in the text? (استخدامی سرایداری ۱۴۰۴) @estekhdamizare 1) a definition of energy 2) problems of scientists 3) the problems of nonrenewable energy sources 4) different types of energy پاسخ صحیح: گزینهٔ 2 --- ✅ توضیحات سؤال 20 معنی سؤال: کدام مورد در متن ذکر نشده است؟ معنی گزینه‌ها + تحلیل - گزینه 1: در متن وجود دارد. - گزینه 2: ✅ در متن نیامده است؛ متن درباره انرژی است، نه مشکلات دانشمندان. - گزینه 3: در متن وجود دارد. - گزینه 4: در متن وجود دارد. نکته: متن درباره انرژی، انواع آن و مشکلات منابع غیرقابل‌تجدید است؛ نه درباره دانشمندان.

✅ریاضی و آمار مقدماتی

۱- ربعِ ثلثِ عددی از خودِ آن عدد، ۳۳ واحد کمتر است. آن عدد کدام است؟ ID: @estekhdamizare گزینه‌ها: (۱) ۳۲ (۲) ۳۴ (۳) ۳۰ (۴) ۳۶ گام اول: تعریف متغیر و تبدیل کسری فرض می‌کنیم عدد مورد نظر x باشد. ثلث عدد: x/3 ربعِ ثلث عدد:  1/4×X/3 = X/ 12 گام دوم: تشکیل معادله طبق صورت سؤال: «ربعِ ثلث عدد، ۳۳ واحد کمتر از خودِ عدد است.» x/12= x−33 گام سوم: حل معادله برای حذف مخرج، طرفین را در ۱۲ ضرب می‌کنیم: 12×x/12=12×(x−33) x=12x−(12×33) محاسبه: 12×33=39612 x=12x−396 396=12x−x 396=11x x=396/11 گام چهارم: یافتن عدد x=36x=36 پاسخ نهایی: ۳۶ (گزینه ۴)

اگر معادله‌ی درجه دوم ax^2 + (a^2 − 9)x + 1 = 0 دارای دو ریشه‌ی قرینه باشد، مقدار حاصل‌ضرب ریشه‌های این معادله کدام است؟ (سرایداری 1404) ID: @estekhdamizare گزینه‌ها: 1/3 −1/3 ±√3 ±1/√3 پاسخ تشریحی: اگر معادله‌ای دو ریشه‌ی قرینه داشته باشد، یعنی ریشه‌ها به صورت r و −r باشند. در این حالت، مجموع ریشه‌ها برابر صفر است. در معادله‌ی درجه دوم ax^2 + bx + c = 0 مجموع ریشه‌ها برابر است با: −b/a در این سؤال: b = a^2 − 9 پس داریم: −(a^2 − 9)/a = 0 برای صفر شدن کسر، صورت باید صفر باشد: a^2 − 9 = 0 a^2 = 9 a = ±3 اکنون حاصل‌ضرب ریشه‌ها را محاسبه می‌کنیم. حاصل‌ضرب ریشه‌ها در معادله‌ی درجه دوم برابر است با: c/a در این سؤال: c = 1 پس حاصل‌ضرب ریشه‌ها برابر است با: 1/a نتیجه نهایی: ✅ پاسخ صحیح گزینه 1 است.

برای اینکه نمودار سهمی به معادله y = x² + 3x + (a − 1) در رأس خود، مماس بر محور طول‌ها باشد، کمترین مقدار a کدام است؟(سرایداری 1404) @estekhdamizare برای اینکه نمودار سهمی در رأس خود مماس بر محور طول‌ها (محور x) باشد، باید رأس دقیقاً روی محور x قرار بگیرد. یعنی مختصات y رأس برابر صفر باشد. 🔹 مرحله اول: تعیین مختصات رأس سهمی معادله داده شده به صورت کلی است: y = ax² + bx + c در این سؤال: a = 1 b = 3 c = a − 1 مختصات x رأس از فرمول زیر به دست می‌آید: x₍رأس₎ = −b / (2a) x₍رأس₎ = −3 / 2 🔹 مرحله دوم: به دست آوردن y رأس حالا مقدار x رأس را در معادله جایگذاری می‌کنیم: y₍رأس₎ = (−3/2)² + 3(−3/2) + (a − 1) محاسبه می‌کنیم: (−3/2)² = 9/4 3 × (−3/2) = −9/2 پس: y₍رأس₎ = 9/4 − 9/2 + a − 1 برای یکسان‌سازی مخرج‌ها: 9/4 − 18/4 − 4/4 = −13/4 پس داریم: y₍رأس₎ = a − 13/4 🔹 مرحله سوم: شرط مماس بودن با محور x چون رأس روی محور x قرار دارد: y₍رأس₎ = 0 بنابراین: a − 13/4 = 0 a = 13/4 ✅ نتیجه نهایی ✅ 13/4 🔹 گزینه صحیح:

در دنباله حسابی با جمله عمومی an = (5n − 2) / 3 کدام گزینه درست است؟ (سرایداری 1404) ID: @estekhdamizare جمله عمومی دنباله به صورت an = (5n − 2) / 3 داده شده است. ابتدا جمله اول را محاسبه می‌کنیم: a1 = (5×1 − 2) / 3 a1 = 3 / 3 a1 = 1 پس جمله اول برابر با 1 است. بنابراین: گزینه ۱ نادرست است چون a1 مثبت است. گزینه ۴ نادرست است چون a1 برابر با 1 است نه 10 / 3. اکنون قدر نسبت دنباله را به دست می‌آوریم. در جمله عمومی، ضریب n برابر با 5 / 3 است، پس: d = 5 / 3 جمله هفتم را محاسبه می‌کنیم: a7 = (5×7 − 2) / 3 a7 = 33 / 3 a7 = 11 پس گزینه ۳ نادرست است چون a7 برابر با 11 است نه 13. اکنون گزینه ۲ را بررسی می‌کنیم: a7 = a1 + (7 − 1)d a7 = 1 + 6 × (5 / 3) a7 = 1 + 10 a7 = 11 مشاهده می‌شود که: a7 = a1 + 10 پس گزینه ۲ درست است. پاسخ نهایی: گزینه ۲ صحیح است ✅

تابع زیر یک تابع همانی است: f = {(1 , m+2) , (3 , m-2n) , (-4 , 3p)} حاصل عبارت زیر کدام است؟ 2m + n + 3p ID: @estekhdamizare (سرایداری 1404) گزینه‌ها: 4 -3 -8 -2 پاسخ تشریحی: چون تابع همانی است، در هر زوج مرتب، مؤلفه دوم برابر مؤلفه اول است. زوج مرتب اول: (1 , m+2) پس داریم: m + 2 = 1 m = -1 زوج مرتب دوم: (3 , m - 2n) جایگذاری m = -1: -1 - 2n = 3 -2n = 4 n = -2 زوج مرتب سوم: (-4 , 3p) پس: 3p = -4 p = -4/3 اکنون مقدار عبارت را حساب می‌کنیم: 2m + n + 3p = 2×(-1) + (-2) + 3×(-4/3) = -2 - 2 - 4 = -8 پاسخ نهایی: گزینه 3 ✅ عدد -8

۶- محیط یک مثلث قائم‌الزاویه‌ی متساوی‌الساقین ۱۷ می‌باشد. اگر طول وتر این مثلث ۹ باشد، آنگاه مساحت این مثلث کدام است؟ (سرایداری 1404) @estekhdamizare الف) ۱۲ ب) ۴ ج) ۱۶ د) ۸ ✅ پاسخ تشریحی: این مثلث قائم‌الزاویه و متساوی‌الساقین است، بنابراین: دو ضلع قائم با هم برابرند وتر، ضلع مقابل زاویهٔ قائم است مرحله ۱: تعیین طول ضلع‌های قائم فرض می‌کنیم طول هر یک از ضلع‌های قائم برابر با x باشد. در مثلث قائم‌الزاویه متساوی‌الساقین داریم: وتر = x√2 طبق صورت سؤال: x√2=9 مرحله ۲: بررسی محیط مثلث محیط مثلث برابر است با مجموع سه ضلع: x+x+9=17 2x+9=172 2x=8⇒x=4 ✅ مقدار به‌دست‌آمده با شرط‌های مسئله سازگار است. مرحله ۳: محاسبهٔ مساحت مثلث فرمول مساحت مثلث قائم‌الزاویه: ضلع قائممساحت=1/2×ضلع قائم×ضلع قائم مساحت=1/2×4×4=8 ✅ نتیجه نهایی: مساحت مثلث برابر است با ۸ ✅ گزینه صحیح: ۴

نقاط تقاطع نمودارهای توابع زیر در کدام ناحیه‌ها از صفحه محورهای مختصات واقع‌اند؟ (سرایداری 1404) ID: @estekhdamizare g(x) = 3 f(x) = برای x بزرگ‌تر یا مساوی 1 : رادیکال x برای x کوچک‌تر از 0 : x به توان 2 منهای 1 گزینه‌ها: ربع اول و دوم ربع اول و سوم ربع دوم و سوم ربع دوم و چهارم پاسخ صحیح: گزینه 1 ✅ برای به‌دست آوردن نقاط تقاطع، باید مقدار f(x) و g(x) با هم برابر باشند. مرحله اول: g(x) برابر عدد 3 است، پس باید f(x) را مساوی 3 قرار دهیم. حالت اول: f(x) = رادیکال x ، x بزرگ‌تر یا مساوی 1 رادیکال x = 3 با مجذور کردن دو طرف: x = 9 عدد 9 شرط x ≥ 1 را دارد، پس معتبر است. نقطه تقاطع: (9 , 3) این نقطه چون x مثبت و y مثبت است، در ربع اول قرار دارد. حالت دوم: f(x) = x به توان 2 منهای 1 ، x کوچک‌تر از 0 x به توان 2 منهای 1 = 3 x به توان 2 = 4 x = مثبت 2 یا منفی 2 چون شرط x < 0 است، فقط مقدار منفی 2 قابل قبول است. نقطه تقاطع: (-2 , 3) این نقطه چون x منفی و y مثبت است، در ربع دوم قرار دارد. نتیجه‌گیری نهایی: یک نقطه در ربع اول یک نقطه در ربع دوم پس پاسخ درست: گزینه 1: ربع اول و دوم ✅

(سرایداری 1404) @estekhdamizare پاسخ تشریحی: ابتدا مقدار g(√2) را محاسبه می‌کنیم. √2 ≈ 1.414 √2 + 1 ≈ 2.414 جزء صحیح 2.414 برابر 2 است. مخرج: (√2)^2 + 7 = 2 + 7 = 9 √9 = 3 پس: g(√2) = 2 / 3 حال g(−√2) را محاسبه می‌کنیم. −√2 ≈ −1.414 −√2 + 1 ≈ −0.414 جزء صحیح −0.414 برابر −1 است. مخرج: (−√2)^2 + 7 = 2 + 7 = 9 √9 = 3 پس: g(−√2) = −1 / 3 اکنون عبارت خواسته‌شده را حساب می‌کنیم: g(√2) + 5g(−√2) = 2/3 + 5 × (−1/3) = 2/3 − 5/3 = −3/3 = −1 گزینه صحیح 1

(سرایداری 1404) @estekhdamizare پاسخ تشریحی: ابتدا صورت کسر را تجزیه می‌کنیم: x^2 - 5x + 4 = (x - 4)(x - 1) اکنون عبارت حد به شکل زیر نوشته می‌شود: lim (x → 4-) ( (x - 4)(x - 1) ) / |x - 4| چون x به عدد 4 از سمت چپ نزدیک می‌شود، داریم: x - 4 < 0 پس: |x - 4| = -(x - 4) جایگذاری می‌کنیم: ( (x - 4)(x - 1) ) / (-(x - 4)) حال عامل (x - 4) ساده می‌شود: = -(x - 1) اکنون حد را محاسبه می‌کنیم: -(4 - 1) = -3 نتیجه نهایی: پاسخ صحیح: گزینه 4 ✅

(سرایداری 1404) @estekhdamizare پاسخ تشریحی: ابتدا صورت کسر را تجزیه می‌کنیم: x^2 - 5x + 4 = (x - 4)(x - 1) اکنون عبارت حد به شکل زیر نوشته می‌شود: lim (x → 4-) ( (x - 4)(x - 1) ) / |x - 4| چون x به عدد 4 از سمت چپ نزدیک می‌شود، داریم: x - 4 < 0 پس: |x - 4| = -(x - 4) جایگذاری می‌کنیم: ( (x - 4)(x - 1) ) / (-(x - 4)) حال عامل (x - 4) ساده می‌شود: = -(x - 1) اکنون حد را محاسبه می‌کنیم: -(4 - 1) = -3 نتیجه نهایی: پاسخ صحیح: گزینه 4 ✅