برای اینکه نمودار سهمی به معادله y = x² + 3x + (a − 1) در رأس خود، مماس بر محور طول‌ها باشد، کمترین مقدار a کدام است؟(سرایداری 1404) @estekhdamizare برای اینکه نمودار سهمی در رأس خود مماس بر محور طول‌ها (محور x) باشد، باید رأس دقیقاً روی محور x قرار بگیرد. یعنی مختصات y رأس برابر صفر باشد. 🔹 مرحله اول: تعیین مختصات رأس سهمی معادله داده شده به صورت کلی است: y = ax² + bx + c در این سؤال: a = 1 b = 3 c = a − 1 مختصات x رأس از فرمول زیر به دست می‌آید: x₍رأس₎ = −b / (2a) x₍رأس₎ = −3 / 2 🔹 مرحله دوم: به دست آوردن y رأس حالا مقدار x رأس را در معادله جایگذاری می‌کنیم: y₍رأس₎ = (−3/2)² + 3(−3/2) + (a − 1) محاسبه می‌کنیم: (−3/2)² = 9/4 3 × (−3/2) = −9/2 پس: y₍رأس₎ = 9/4 − 9/2 + a − 1 برای یکسان‌سازی مخرج‌ها: 9/4 − 18/4 − 4/4 = −13/4 پس داریم: y₍رأس₎ = a − 13/4 🔹 مرحله سوم: شرط مماس بودن با محور x چون رأس روی محور x قرار دارد: y₍رأس₎ = 0 بنابراین: a − 13/4 = 0 a = 13/4 ✅ نتیجه نهایی ✅ 13/4 🔹 گزینه صحیح:

در دنباله حسابی با جمله عمومی an = (5n − 2) / 3 کدام گزینه درست است؟ (سرایداری 1404) ID: @estekhdamizare جمله عمومی دنباله به صورت an = (5n − 2) / 3 داده شده است. ابتدا جمله اول را محاسبه می‌کنیم: a1 = (5×1 − 2) / 3 a1 = 3 / 3 a1 = 1 پس جمله اول برابر با 1 است. بنابراین: گزینه ۱ نادرست است چون a1 مثبت است. گزینه ۴ نادرست است چون a1 برابر با 1 است نه 10 / 3. اکنون قدر نسبت دنباله را به دست می‌آوریم. در جمله عمومی، ضریب n برابر با 5 / 3 است، پس: d = 5 / 3 جمله هفتم را محاسبه می‌کنیم: a7 = (5×7 − 2) / 3 a7 = 33 / 3 a7 = 11 پس گزینه ۳ نادرست است چون a7 برابر با 11 است نه 13. اکنون گزینه ۲ را بررسی می‌کنیم: a7 = a1 + (7 − 1)d a7 = 1 + 6 × (5 / 3) a7 = 1 + 10 a7 = 11 مشاهده می‌شود که: a7 = a1 + 10 پس گزینه ۲ درست است. پاسخ نهایی: گزینه ۲ صحیح است ✅

تابع زیر یک تابع همانی است: f = {(1 , m+2) , (3 , m-2n) , (-4 , 3p)} حاصل عبارت زیر کدام است؟ 2m + n + 3p ID: @estekhdamizare (سرایداری 1404) گزینه‌ها: 4 -3 -8 -2 پاسخ تشریحی: چون تابع همانی است، در هر زوج مرتب، مؤلفه دوم برابر مؤلفه اول است. زوج مرتب اول: (1 , m+2) پس داریم: m + 2 = 1 m = -1 زوج مرتب دوم: (3 , m - 2n) جایگذاری m = -1: -1 - 2n = 3 -2n = 4 n = -2 زوج مرتب سوم: (-4 , 3p) پس: 3p = -4 p = -4/3 اکنون مقدار عبارت را حساب می‌کنیم: 2m + n + 3p = 2×(-1) + (-2) + 3×(-4/3) = -2 - 2 - 4 = -8 پاسخ نهایی: گزینه 3 ✅ عدد -8

۶- محیط یک مثلث قائم‌الزاویه‌ی متساوی‌الساقین ۱۷ می‌باشد. اگر طول وتر این مثلث ۹ باشد، آنگاه مساحت این مثلث کدام است؟ (سرایداری 1404) @estekhdamizare الف) ۱۲ ب) ۴ ج) ۱۶ د) ۸ ✅ پاسخ تشریحی: این مثلث قائم‌الزاویه و متساوی‌الساقین است، بنابراین: دو ضلع قائم با هم برابرند وتر، ضلع مقابل زاویهٔ قائم است مرحله ۱: تعیین طول ضلع‌های قائم فرض می‌کنیم طول هر یک از ضلع‌های قائم برابر با x باشد. در مثلث قائم‌الزاویه متساوی‌الساقین داریم: وتر = x√2 طبق صورت سؤال: x√2=9 مرحله ۲: بررسی محیط مثلث محیط مثلث برابر است با مجموع سه ضلع: x+x+9=17 2x+9=172 2x=8⇒x=4 ✅ مقدار به‌دست‌آمده با شرط‌های مسئله سازگار است. مرحله ۳: محاسبهٔ مساحت مثلث فرمول مساحت مثلث قائم‌الزاویه: ضلع قائممساحت=1/2×ضلع قائم×ضلع قائم مساحت=1/2×4×4=8 ✅ نتیجه نهایی: مساحت مثلث برابر است با ۸ ✅ گزینه صحیح: ۴

نقاط تقاطع نمودارهای توابع زیر در کدام ناحیه‌ها از صفحه محورهای مختصات واقع‌اند؟ (سرایداری 1404) ID: @estekhdamizare g(x) = 3 f(x) = برای x بزرگ‌تر یا مساوی 1 : رادیکال x برای x کوچک‌تر از 0 : x به توان 2 منهای 1 گزینه‌ها: ربع اول و دوم ربع اول و سوم ربع دوم و سوم ربع دوم و چهارم پاسخ صحیح: گزینه 1 ✅ برای به‌دست آوردن نقاط تقاطع، باید مقدار f(x) و g(x) با هم برابر باشند. مرحله اول: g(x) برابر عدد 3 است، پس باید f(x) را مساوی 3 قرار دهیم. حالت اول: f(x) = رادیکال x ، x بزرگ‌تر یا مساوی 1 رادیکال x = 3 با مجذور کردن دو طرف: x = 9 عدد 9 شرط x ≥ 1 را دارد، پس معتبر است. نقطه تقاطع: (9 , 3) این نقطه چون x مثبت و y مثبت است، در ربع اول قرار دارد. حالت دوم: f(x) = x به توان 2 منهای 1 ، x کوچک‌تر از 0 x به توان 2 منهای 1 = 3 x به توان 2 = 4 x = مثبت 2 یا منفی 2 چون شرط x < 0 است، فقط مقدار منفی 2 قابل قبول است. نقطه تقاطع: (-2 , 3) این نقطه چون x منفی و y مثبت است، در ربع دوم قرار دارد. نتیجه‌گیری نهایی: یک نقطه در ربع اول یک نقطه در ربع دوم پس پاسخ درست: گزینه 1: ربع اول و دوم ✅

(سرایداری 1404) @estekhdamizare پاسخ تشریحی: ابتدا مقدار g(√2) را محاسبه می‌کنیم. √2 ≈ 1.414 √2 + 1 ≈ 2.414 جزء صحیح 2.414 برابر 2 است. مخرج: (√2)^2 + 7 = 2 + 7 = 9 √9 = 3 پس: g(√2) = 2 / 3 حال g(−√2) را محاسبه می‌کنیم. −√2 ≈ −1.414 −√2 + 1 ≈ −0.414 جزء صحیح −0.414 برابر −1 است. مخرج: (−√2)^2 + 7 = 2 + 7 = 9 √9 = 3 پس: g(−√2) = −1 / 3 اکنون عبارت خواسته‌شده را حساب می‌کنیم: g(√2) + 5g(−√2) = 2/3 + 5 × (−1/3) = 2/3 − 5/3 = −3/3 = −1 گزینه صحیح 1

(سرایداری 1404) @estekhdamizare پاسخ تشریحی: ابتدا صورت کسر را تجزیه می‌کنیم: x^2 - 5x + 4 = (x - 4)(x - 1) اکنون عبارت حد به شکل زیر نوشته می‌شود: lim (x → 4-) ( (x - 4)(x - 1) ) / |x - 4| چون x به عدد 4 از سمت چپ نزدیک می‌شود، داریم: x - 4 < 0 پس: |x - 4| = -(x - 4) جایگذاری می‌کنیم: ( (x - 4)(x - 1) ) / (-(x - 4)) حال عامل (x - 4) ساده می‌شود: = -(x - 1) اکنون حد را محاسبه می‌کنیم: -(4 - 1) = -3 نتیجه نهایی: پاسخ صحیح: گزینه 4 ✅

(سرایداری 1404) @estekhdamizare پاسخ تشریحی: ابتدا صورت کسر را تجزیه می‌کنیم: x^2 - 5x + 4 = (x - 4)(x - 1) اکنون عبارت حد به شکل زیر نوشته می‌شود: lim (x → 4-) ( (x - 4)(x - 1) ) / |x - 4| چون x به عدد 4 از سمت چپ نزدیک می‌شود، داریم: x - 4 < 0 پس: |x - 4| = -(x - 4) جایگذاری می‌کنیم: ( (x - 4)(x - 1) ) / (-(x - 4)) حال عامل (x - 4) ساده می‌شود: = -(x - 1) اکنون حد را محاسبه می‌کنیم: -(4 - 1) = -3 نتیجه نهایی: پاسخ صحیح: گزینه 4 ✅

(سرایداری 1404) @estekhdamizare برای به‌دست آوردن دامنه‌ی تابع y=2f(x)+1 کافی است دامنه‌ی f(x) را بررسی کنیم، زیرا ضرب در عدد و جمع با عدد ثابت، دامنه را تغییر نمی‌دهد. تابع f(x)=log(∛(1−√(3−x))) است. مرحله اول: داخل لگاریتم باید مثبت باشد، پس داریم: ∛(1−√(3−x)) > 0 چون ریشه‌ی سوم علامت را تغییر نمی‌دهد، بنابراین: 1−√(3−x) > 0 نتیجه می‌گیریم: √(3−x) < 1 مرحله دوم (حذف رادیکال): 3−x < 1 x > 2 مرحله سوم (شرط وجود رادیکال): 3−x ≥ 0 x ≤ 3 مرحله چهارم (دامنه نهایی): 2 < x ≤ 3 مرحله پنجم (اعداد صحیح موجود در دامنه): بین 2 و 3 فقط عدد صحیح 3 قرار دارد. پس تعداد اعداد صحیح برابر است با 1. نتیجه نهایی: گزینه صحیح: ۴ ✅

(سرایداری 1404) @estekhdamizare تابع داده شده یک تابع ترکیبی است: y = f(g(x)) برای به‌دست آوردن شیب خط مماس باید مشتق تابع ترکیبی را محاسبه کنیم. ابتدا مشتق هر تابع را به‌طور جداگانه به‌دست می‌آوریم. تابع f(x): f(x)=3/√x = 3x^(-1/2) f’(x)= -3/2 * x^(-3/2) تابع g(x): g(x)=2x^3−4x+1 g’(x)=6x^2−4 طبق قاعده زنجیره‌ای: (f∘g)‘(x) = f’(g(x)) × g’(x) حال مقادیر را در x=1 محاسبه می‌کنیم: g(1)=2(1)^3−4(1)+1 g(1)=2−4+1 g(1)= −1 g’(1)=6(1)^2−4 g’(1)=2 محاسبه f’(g(1)): f’(−1)=15/4 در نتیجه: (f∘g)'(1)= (15/4) × 2 = 15/2 پاسخ گزینه 1✅

۱۳_میانگین و انحراف معیار شش داده‌ی آماری به ترتیب ۱۲ و ۳ است. اگر همه داده‌ها را در ۵ ضرب کنیم، ضریب تغییرات (ضریب پراکندگی) داده‌های جدید چقدر است؟( سرایداری 1404) ID: @estekhdamizare ۱) ۴ ۲) ۱/۴ ✅ ۳) ۱۲/۵ ۴) ۱۲/۳ پاسخ تشریحی: ضریب تغییرات از رابطهٔ زیر به‌دست می‌آید: CV = (انحراف معیار) ÷ (میانگین) ابتدا ضریب تغییرات داده‌های اولیه را محاسبه می‌کنیم: انحراف معیار اولیه = ۳ میانگین اولیه = ۱۲ CV اولیه = ۳ ÷ ۱۲ = ۱/۴ اکنون همهٔ داده‌ها در عدد ۵ ضرب می‌شوند. ویژگی مهم ضریب تغییرات این است که اگر تمام داده‌ها در یک عدد ثابت ضرب شوند: میانگین در همان عدد ضرب می‌شود انحراف معیار نیز در همان عدد ضرب می‌شود اما ضریب تغییرات تغییر نمی‌کند چون نسبت آن‌ها ثابت می‌ماند بررسی عددی: میانگین جدید = ۱۲ × ۵ = ۶۰ انحراف معیار جدید = ۳ × ۵ = ۱۵ ۱۵ ÷ ۶۰ = ۱/۴ جدید CV= ۱۵ ÷ ۶۰ = ۱/۴ ✅ پس ضریب تغییرات داده‌های جدید برابر است با: ۱/۴ گزینهٔ صحیح: ۲ ✅

۱۴- اگر احتمال قبول شدن زهرا در یک آزمون ۲۰ درصد بیشتر از احتمال قبول نشدنش در آن آزمون باشد، با چه احتمالی زهرا در آن آزمون قبول می‌شود؟ (سرایداری 1404) ID: @estekhdamizare گزینه‌ها: ۱) ۰٫۶ ✅ ۲) ۰٫۵ ۳) ۰٫۴ ۴) ۰٫۲ پاسخ تشریحی: فرض می‌کنیم احتمال قبول شدن زهرا برابر x باشد. در این صورت احتمال قبول نشدن زهرا برابر 1 - x خواهد بود. طبق صورت سؤال، احتمال قبول شدن زهرا ۲۰ درصد (۰٫۲) بیشتر از احتمال قبول نشدن اوست. پس داریم: x = (1 - x) + 0.2 حال معادله را حل می‌کنیم: x = 1 - x + 0.2 2x = 1.2 x = 0.6 نتیجه: احتمال قبول شدن زهرا در آزمون برابر ۰٫۶ یا ۶۰ درصد است. گزینه صحیح: ۱ ✅