۶- محیط یک مثلث قائم‌الزاویه‌ی متساوی‌الساقین ۱۷ می‌باشد. اگر طول وتر این مثلث ۹ باشد، آنگاه مساحت این مثلث کدام است؟ (سرایداری 1404) @estekhdamizare الف) ۱۲ ب) ۴ ج) ۱۶ د) ۸ ✅ پاسخ تشریحی: این مثلث قائم‌الزاویه و متساوی‌الساقین است، بنابراین: دو ضلع قائم با هم برابرند وتر، ضلع مقابل زاویهٔ قائم است مرحله ۱: تعیین طول ضلع‌های قائم فرض می‌کنیم طول هر یک از ضلع‌های قائم برابر با x باشد. در مثلث قائم‌الزاویه متساوی‌الساقین داریم: وتر = x√2 طبق صورت سؤال: x√2=9 مرحله ۲: بررسی محیط مثلث محیط مثلث برابر است با مجموع سه ضلع: x+x+9=17 2x+9=172 2x=8⇒x=4 ✅ مقدار به‌دست‌آمده با شرط‌های مسئله سازگار است. مرحله ۳: محاسبهٔ مساحت مثلث فرمول مساحت مثلث قائم‌الزاویه: ضلع قائممساحت=1/2×ضلع قائم×ضلع قائم مساحت=1/2×4×4=8 ✅ نتیجه نهایی: مساحت مثلث برابر است با ۸ ✅ گزینه صحیح: ۴

نقاط تقاطع نمودارهای توابع زیر در کدام ناحیه‌ها از صفحه محورهای مختصات واقع‌اند؟ (سرایداری 1404) ID: @estekhdamizare g(x) = 3 f(x) = برای x بزرگ‌تر یا مساوی 1 : رادیکال x برای x کوچک‌تر از 0 : x به توان 2 منهای 1 گزینه‌ها: ربع اول و دوم ربع اول و سوم ربع دوم و سوم ربع دوم و چهارم پاسخ صحیح: گزینه 1 ✅ برای به‌دست آوردن نقاط تقاطع، باید مقدار f(x) و g(x) با هم برابر باشند. مرحله اول: g(x) برابر عدد 3 است، پس باید f(x) را مساوی 3 قرار دهیم. حالت اول: f(x) = رادیکال x ، x بزرگ‌تر یا مساوی 1 رادیکال x = 3 با مجذور کردن دو طرف: x = 9 عدد 9 شرط x ≥ 1 را دارد، پس معتبر است. نقطه تقاطع: (9 , 3) این نقطه چون x مثبت و y مثبت است، در ربع اول قرار دارد. حالت دوم: f(x) = x به توان 2 منهای 1 ، x کوچک‌تر از 0 x به توان 2 منهای 1 = 3 x به توان 2 = 4 x = مثبت 2 یا منفی 2 چون شرط x < 0 است، فقط مقدار منفی 2 قابل قبول است. نقطه تقاطع: (-2 , 3) این نقطه چون x منفی و y مثبت است، در ربع دوم قرار دارد. نتیجه‌گیری نهایی: یک نقطه در ربع اول یک نقطه در ربع دوم پس پاسخ درست: گزینه 1: ربع اول و دوم ✅

(سرایداری 1404) @estekhdamizare پاسخ تشریحی: ابتدا مقدار g(√2) را محاسبه می‌کنیم. √2 ≈ 1.414 √2 + 1 ≈ 2.414 جزء صحیح 2.414 برابر 2 است. مخرج: (√2)^2 + 7 = 2 + 7 = 9 √9 = 3 پس: g(√2) = 2 / 3 حال g(−√2) را محاسبه می‌کنیم. −√2 ≈ −1.414 −√2 + 1 ≈ −0.414 جزء صحیح −0.414 برابر −1 است. مخرج: (−√2)^2 + 7 = 2 + 7 = 9 √9 = 3 پس: g(−√2) = −1 / 3 اکنون عبارت خواسته‌شده را حساب می‌کنیم: g(√2) + 5g(−√2) = 2/3 + 5 × (−1/3) = 2/3 − 5/3 = −3/3 = −1 گزینه صحیح 1

(سرایداری 1404) @estekhdamizare پاسخ تشریحی: ابتدا صورت کسر را تجزیه می‌کنیم: x^2 - 5x + 4 = (x - 4)(x - 1) اکنون عبارت حد به شکل زیر نوشته می‌شود: lim (x → 4-) ( (x - 4)(x - 1) ) / |x - 4| چون x به عدد 4 از سمت چپ نزدیک می‌شود، داریم: x - 4 < 0 پس: |x - 4| = -(x - 4) جایگذاری می‌کنیم: ( (x - 4)(x - 1) ) / (-(x - 4)) حال عامل (x - 4) ساده می‌شود: = -(x - 1) اکنون حد را محاسبه می‌کنیم: -(4 - 1) = -3 نتیجه نهایی: پاسخ صحیح: گزینه 4 ✅

(سرایداری 1404) @estekhdamizare پاسخ تشریحی: ابتدا صورت کسر را تجزیه می‌کنیم: x^2 - 5x + 4 = (x - 4)(x - 1) اکنون عبارت حد به شکل زیر نوشته می‌شود: lim (x → 4-) ( (x - 4)(x - 1) ) / |x - 4| چون x به عدد 4 از سمت چپ نزدیک می‌شود، داریم: x - 4 < 0 پس: |x - 4| = -(x - 4) جایگذاری می‌کنیم: ( (x - 4)(x - 1) ) / (-(x - 4)) حال عامل (x - 4) ساده می‌شود: = -(x - 1) اکنون حد را محاسبه می‌کنیم: -(4 - 1) = -3 نتیجه نهایی: پاسخ صحیح: گزینه 4 ✅

(سرایداری 1404) @estekhdamizare برای به‌دست آوردن دامنه‌ی تابع y=2f(x)+1 کافی است دامنه‌ی f(x) را بررسی کنیم، زیرا ضرب در عدد و جمع با عدد ثابت، دامنه را تغییر نمی‌دهد. تابع f(x)=log(∛(1−√(3−x))) است. مرحله اول: داخل لگاریتم باید مثبت باشد، پس داریم: ∛(1−√(3−x)) > 0 چون ریشه‌ی سوم علامت را تغییر نمی‌دهد، بنابراین: 1−√(3−x) > 0 نتیجه می‌گیریم: √(3−x) < 1 مرحله دوم (حذف رادیکال): 3−x < 1 x > 2 مرحله سوم (شرط وجود رادیکال): 3−x ≥ 0 x ≤ 3 مرحله چهارم (دامنه نهایی): 2 < x ≤ 3 مرحله پنجم (اعداد صحیح موجود در دامنه): بین 2 و 3 فقط عدد صحیح 3 قرار دارد. پس تعداد اعداد صحیح برابر است با 1. نتیجه نهایی: گزینه صحیح: ۴ ✅

(سرایداری 1404) @estekhdamizare تابع داده شده یک تابع ترکیبی است: y = f(g(x)) برای به‌دست آوردن شیب خط مماس باید مشتق تابع ترکیبی را محاسبه کنیم. ابتدا مشتق هر تابع را به‌طور جداگانه به‌دست می‌آوریم. تابع f(x): f(x)=3/√x = 3x^(-1/2) f’(x)= -3/2 * x^(-3/2) تابع g(x): g(x)=2x^3−4x+1 g’(x)=6x^2−4 طبق قاعده زنجیره‌ای: (f∘g)‘(x) = f’(g(x)) × g’(x) حال مقادیر را در x=1 محاسبه می‌کنیم: g(1)=2(1)^3−4(1)+1 g(1)=2−4+1 g(1)= −1 g’(1)=6(1)^2−4 g’(1)=2 محاسبه f’(g(1)): f’(−1)=15/4 در نتیجه: (f∘g)'(1)= (15/4) × 2 = 15/2 پاسخ گزینه 1✅

۱۳_میانگین و انحراف معیار شش داده‌ی آماری به ترتیب ۱۲ و ۳ است. اگر همه داده‌ها را در ۵ ضرب کنیم، ضریب تغییرات (ضریب پراکندگی) داده‌های جدید چقدر است؟( سرایداری 1404) ID: @estekhdamizare ۱) ۴ ۲) ۱/۴ ✅ ۳) ۱۲/۵ ۴) ۱۲/۳ پاسخ تشریحی: ضریب تغییرات از رابطهٔ زیر به‌دست می‌آید: CV = (انحراف معیار) ÷ (میانگین) ابتدا ضریب تغییرات داده‌های اولیه را محاسبه می‌کنیم: انحراف معیار اولیه = ۳ میانگین اولیه = ۱۲ CV اولیه = ۳ ÷ ۱۲ = ۱/۴ اکنون همهٔ داده‌ها در عدد ۵ ضرب می‌شوند. ویژگی مهم ضریب تغییرات این است که اگر تمام داده‌ها در یک عدد ثابت ضرب شوند: میانگین در همان عدد ضرب می‌شود انحراف معیار نیز در همان عدد ضرب می‌شود اما ضریب تغییرات تغییر نمی‌کند چون نسبت آن‌ها ثابت می‌ماند بررسی عددی: میانگین جدید = ۱۲ × ۵ = ۶۰ انحراف معیار جدید = ۳ × ۵ = ۱۵ ۱۵ ÷ ۶۰ = ۱/۴ جدید CV= ۱۵ ÷ ۶۰ = ۱/۴ ✅ پس ضریب تغییرات داده‌های جدید برابر است با: ۱/۴ گزینهٔ صحیح: ۲ ✅

۱۴- اگر احتمال قبول شدن زهرا در یک آزمون ۲۰ درصد بیشتر از احتمال قبول نشدنش در آن آزمون باشد، با چه احتمالی زهرا در آن آزمون قبول می‌شود؟ (سرایداری 1404) ID: @estekhdamizare گزینه‌ها: ۱) ۰٫۶ ✅ ۲) ۰٫۵ ۳) ۰٫۴ ۴) ۰٫۲ پاسخ تشریحی: فرض می‌کنیم احتمال قبول شدن زهرا برابر x باشد. در این صورت احتمال قبول نشدن زهرا برابر 1 - x خواهد بود. طبق صورت سؤال، احتمال قبول شدن زهرا ۲۰ درصد (۰٫۲) بیشتر از احتمال قبول نشدن اوست. پس داریم: x = (1 - x) + 0.2 حال معادله را حل می‌کنیم: x = 1 - x + 0.2 2x = 1.2 x = 0.6 نتیجه: احتمال قبول شدن زهرا در آزمون برابر ۰٫۶ یا ۶۰ درصد است. گزینه صحیح: ۱ ✅

۱۵- در بررسی نوع گروه خونی افراد یک جامعهٔ آماری، نوع متغیر کدام است؟ (سرایداری 1400) ID: @estekhdamizare ۱) گسسته ۲) ترکیبی ۳) اسمی ✅ ۴) کمی پاسخ تشریحی: در آمار، متغیرها به دو دستهٔ کلی کمی و کیفی تقسیم می‌شوند. 🔹 گروه خونی (A، B، AB، O) فقط بیانگر نام و طبقه‌بندی افراد است. 🔹 بین گروه‌های خونی ترتیب، مقدار عددی یا امکان انجام محاسبات ریاضی (مثل جمع و میانگین) وجود ندارد. 🔹 بنابراین این متغیر کیفی از نوع اسمی است. ✅ متغیر اسمی: متغیری کیفی که داده‌های آن فقط نقش برچسب یا نام دارند و هیچ‌گونه ارزش عددی، ترتیب یا مقایسهٔ مقداری بین آن‌ها وجود ندارد. 📌 نتیجه نهایی: گزینهٔ ۳ (اسمی) پاسخ صحیح است ✅ ———————

۱۶- در یک نمونه آماری فراوانی یکی از داده‌ها ۱۵ می‌باشد. اگر زاویه مرکزی متناظر با این داده در نمودار دایره‌ای برابر با ۵۴ درجه باشد، آنگاه فراوانی کل این نمونه آماری چقدر است؟ (سرایداری 1404) ID: @estekhdamizare ۱) ۳۶ ۲) ۱۰۰ ✅ ۳) ۶۹ ۴) ۹۱ پاسخ تشریحی: در نمودار دایره‌ای، کل داده‌ها معادل ۳۶۰ درجه است و بین فراوانی هر داده و زاویه مرکزی آن تناسب مستقیم وجود دارد. فراوانی داده / فراوانی کل = زاویه داده / ۳۶۰ ۱۵ / n = ۵۴ / ۳۶۰ ۵۴ / ۳۶۰ = ۳ / ۲۰ ۱۵ / n = ۳ / ۲۰ ۱۵ × ۲۰ = ۳ × n ۳۰۰ = ۳n n = ۱۰۰ بنابراین فراوانی کل برابر با ۱۰۰ است. پاسخ صحیح: گزینه ۲✅

۱۷- در داده‌های ۶ و ۳ و ۷ و ۱۱ و ۹ و ۱۴ و ۱۷ میانه کدام است؟ (سرایداری 1404) ID: @estekhdamizare گزینه‌ها: ۱) ۱۱ ۲) ۹ ✅ ۳) ۱۴ ۴) ۷ پاسخ تشریحی: برای به‌دست آوردن میانه، ابتدا باید داده‌ها را به ترتیب صعودی مرتب کنیم. داده‌های اولیه: ۶ ، ۳ ، ۷ ، ۱۱ ، ۹ ، ۱۴ ، ۱۷ پس از مرتب‌سازی صعودی: ۳ ، ۶ ، ۷ ، ۹ ، ۱۱ ، ۱۴ ، ۱۷ تعداد داده‌ها ۷ عدد است که یک عدد فرد می‌باشد. در حالتی که تعداد داده‌ها فرد است، میانه برابر با داده‌ی وسط در لیست مرتب‌شده است. داده‌ی وسط (چهارمین عدد): ۹ بنابراین میانه برابر با ۹ است. ✅ پاسخ نهایی: گزینه ۲ (۹)