نشریهٔ علمی - دانشجویی حلقه فصلنامهٔ دانشکدهٔ ریاضی و علوم‌کامپيوتر دانشگاه صنعتی امیرکبیر 📌 شماره هشت 🗓 پاییز ۱۴۰۴

سوالات مرحله اول المپیاد ریاضی از ابتدا تا کنون

یکی از عادتهایی که غربی ها از گذشته داشتند، ثبت و مستند کردن اتفاقات و مسائل مختلف و بعد منتقل کردن و در اختیار گذاشتن اون برای دیگران هست. مثال ها زیاد هست. در تصویر بالا بعضی سوالاتی که در جلسه مربوط به آزمون دکتری دانشگاه پرینستون از Manjul Bhargava پرسیدند رو می بینید. Manjul Bhargava در سال 2014 برنده مدال فیلدز هم شد. حالا تو جلسه چه کسانی بودند؟ Charles Fefferman یکی از بزرگترین ریاضیدان های زنده و برنده جایزه فیلدز در سال 1978. Andrew Wiles که معرف همه هست و قضیه آخر فرما رو ثابت کرد. John Conway که ایشون هم ریاضیدانان بسیار برجسته ای بودند و در زمینه های مختلف در ریاضی تحقیق کردند و در سال 2020 درگذشتند. حتی در مواردی جزییات شوخی ها، جو حاکم  در جلسه و... بیان شده. این ها هزاران سال هست، که حرف های ردوبدل شده در جلسات شون رو هم مستند می کنند، حتی در حد Uh oh. و اون رو در اختیار عموم می ذارند. https://web.math.princeton.edu/generals/ https://eitaa.com/mathteaching

ابونصر فارابی (۸۷۲-۹۵۰ میلادی)، معروف به «معلم دوم» پس از ارسطو، از بزرگترین فیلسوفان و دانشمندان عصر طلایی تمدن اسلامی بود. او که در فاراب زاده شد، در بغداد تحصیل کرد و سپس در حلب تحت حمایت سیف‌الدوله حمدانی به کار خود ادامه داد. فارابی در تلفیق فلسفه یونان با اندیشه اسلامی تبحر داشت. مهمترین اثر او «آراء اهل المدینة الفاضلة» است که در آن جامعه‌ای آرمانی را تحت رهبری یک فیلسوف-حاکم ترسیم می‌کند. او همچنین با ارائه نظریه «فیض» به تبیین چگونگی صدور جهان از خداوند پرداخت. دستاوردهای او محدود به فلسفه نبود. کتاب «الموسیقی الکبیر» او یک دانشنامه جامع در تئوری موسیقی به شمار می‌رود. علاوه بر این، او در منطق، علوم طبیعی و ریاضیات نیز تأثیرگذار بود. میراث فارابی راه را برای فیلسوفان بعدی مانند ابن‌سینا و ابن‌رشد هموار کرد و آثارش که به لاتین ترجمه شد، بر فلاسفه مدرسی اروپا تأثیر گذاشت. او نماد عقل‌گرایی و جامع‌نگری در تمدن اسلامی محسوب می‌شود. https://eitaa.com/mathteaching

پژوهشگر پر استناد به دانشمندی اطلاق می‌شود که مقالات علمی او تعداد بسیار زیادی ارجاع (Citation) از سوی سایر پژوهشگران دریافت کرده باشد. این عنوان، نشان‌دهنده تأثیرگذاری عمیق و کیفیت بالای تحقیقات فرد در جامعه علمی بین‌المللی است. مهم‌ترین شاخص برای انتخاب این پژوهشگران، تعداد ارجاعات است. به طور مشخص، یک پژوهشگر پر استناد کسی است که مقالاتش در بازه زمانی مشخص (معمولاً یک دهه) در مقایسه با میانگین مقالات هم‌رشته خود، در زمره ۱٪ پراستنادترین آثار جهان قرار گیرد. این شناسایی عمدتاً توسط پایگاه‌های داده علمی معتبر انجام می‌شود. شرکت Clarivate Analytic هر ساله با تحلیل داده‌های Web of Science، فهرست رسمی «پژوهشگران پراستناد» را منتشر می‌کند. پایگاه اسکوپوس (Scopus) نیز با استفاده از شاخص‌هایی مانند h-index، پژوهشگران تاثیرگذار را می‌سنجد. داشتن این لقب، یک افتخار académique بزرگ محسوب می‌شود و نشان می‌دهد یافته‌های محقق، مورد توجه گسترده جامعه جهانی قرار گرفته و به پیشبرد دانش در حوزه تخصصی خود کمک شایانی کرده است. این معیار، امروزه به یکی از مهم‌ترین شاخص‌های ارزیابی اعتبار علمی افراد و موسسات تحقیقاتی تبدیل شده است. https://eitaa.com/mathteaching

مساله‌های هزاره، فهرستی از مهم‌ترین مساله‌های باز در ریاضیات است. از میان این مساله‌ها، البته حدس پوانکاره در ابتدای قرن بیست و یکم توسط پرلمان حل شد. موسسه کلی (Clay Mathematics Institute) چند سخنرانی را در ارتباط با این مساله‌ها برگزار کرده‌است. این سخنرانی را ریاضی‌دان‌های بزرگی ارائه کرده‌اند؛ که برخی برندگان مدال فیلدز و جایزه آبل هستند. لینک یوتیوب این سخنرانی‌ها را در زیر گذاشته‌ایم: + Martin Hairer, Yang-Mills and the Mass Gap https://www.youtube.com/watch?v=qJOV8NZDUQw + Chris Skinner, The Birch--Swinnerton-Dyer Conjecture: a millennium prize problem at 25 https://www.youtube.com/watch?v=4Iejh8qTPJ4 + Kannan Soundararajan, Progress on zeta and L-functions motivated by the Riemann Hypothesis https://www.youtube.com/watch?v=zz_kGibN690 + Vladimir Šverak, A report on the Navier-Stokes Problem https://www.youtube.com/watch?v=BaDxv5Z4LkU + Burt Totaro, The Hodge Conjecture: geometry and analysis https://www.youtube.com/watch?v=O4JiYlO-QUQ + Avi Wigderson, P vs NP https://www.youtube.com/watch?v=HX9i9PL8os0 و دو سخنرانی هم در مورد آنالیز هندسی پس از کار پرلمان است. + Bruce Kleiner, Ricci flow after Perelman https://www.youtube.com/watch?v=_xvohI5bDRo + Jeff Brock, 3-manifolds after Perelman: topology, geometry, and effective rigidity https://www.youtube.com/watch?v=8g5fCv5mky0 این سخنرانی‌ها تصویری از مهم‌ترین مسائل در پژوهش ریاضیات به دست می‌دهند. @mathteaching

آزمون‌های نهایی نظری دوره‌ی تابستان، ۳۵ اُمین دوره‌ی المپیاد کامپیوتر ایران، تابستان ۱۴۰۴. @mathteaching

آزمون‌های نهایی نظری دوره‌ی تابستان، ۳۵ اُمین دوره‌ی المپیاد کامپیوتر ایران، تابستان ۱۴۰۴. @mathteaching

آزمون‌های نهایی نظری دوره‌ی تابستان، ۳۵ اُمین دوره‌ی المپیاد کامپیوتر ایران، تابستان ۱۴۰۴. @mathteaching

این مقاله به موضوع نگاشت همدیس (Conformal Mapping) به عنوان یکی از مباحث مهم در تحلیل مختلط می‌پردازد. نگاشت همدیس، تبدیل‌های هندسی هستند که زوایا و شکل‌های محلی را حفظ می‌کنند. هر ناحیه ساده‌ی یک پارچه را می‌توان با یک تابع تحلیلی به دایره واحد نگاشت کرد. برای نواحی با اتصال بیشتر (مثلاً دوگانه یا سه‌گانه)، نگاشت به حوزه‌های متعارف مانند حلقه‌های دایره‌ای یا صفحه با شکاف‌ها امکان‌پذیر است. در عمل، بیشتر این نگاشت‌ها را نمی‌توان به صورت تحلیلی محاسبه کرد؛ بنابراین از دهه‌های ۱۹۵۰ و ۱۹۶۰، روش‌های عددی برای محاسبه آنها توسعه یافته‌اند. برخی از این روش‌ها شامل معادلات انتگرالی، تبدیل شوارتز-کریستوفل برای چندضلعی‌ها، و اخیراً توابع گویا با دقت بالا هستند. نرم‌افزارهایی مانند SC Toolbox در متلب، نگاشت حوزه‌های پیچیده را ممکن ساخته‌اند. از چالش‌های مهم در این حوزه، برخورد با گوشه‌های تیز (که در آن‌ها نگاشت singular می‌شود) و پدیده "crowding" است. برای حل این مشکلات، از روش‌های ویژه‌ای مانند استفاده از مربعات گوس-ژاکوبی و هدف‌گیری حوزه‌های متعارف جایگزین (مانند مستطیل) استفاده می‌شود. نگاشت همدیس اگرچه در تئوری برای حل معادلات دیفرانسیل با شرایط مرزی لاپلاس مفید است، اما در عمل، حل عددی مستقیم معادله لاپلاس اغلب ساده‌تر از محاسبه خود نگاشت است. با این حال، ارزش اصلی این نگاشت‌ها در ایجاد بصیرت و درک شهودی از رفتار توابع مختلط و پدیده‌های فیزیکی مانند جریان سیال یا انتقال حرارت است. تصاویر تولیدشده توسط این نگاشت‌ها به‌طور زیبایی این مفاهیم را نمایان می‌سازند. در نهایت، نویسنده تأکید می‌کند که شکوه نگاشت همدیس عددی در اعداد خروجی آن نیست، بلکه در تصاویر و بینش‌هایی است که ارائه می‌دهد. @mathteaching