یکی از انواع مسأله هایی که در ریاضی مطرح می شه، یکی اش اینه که در یک نوع بازی که مثلا بین دو نفر انجام می شه، امکان برد یا بهتر بگیم استراتژی برد وجود داره یا نه؟ مثلا بازیکن اول می تونه طوری بازی کنه که حتما اون بازی رو ببره؟ این نوع مسأله ها اونقدر جذابیت داره که هنوز هم موضوع مقالات تحقیقاتی ریاضیدان های برجسته هست. مثلا در مورد شطرنج با توجه به پیچیدگی خیلی زیاد و تعداد حالت های خیلی زیادی که برای اون وجود داره، چنین استراتژی وجود نداره یا پیدا نشده تا الان. برای انواع دیگری از شطرنج چنین استراتژی وجود داره. حالا یک مسأله برای فکر کردن تا بعدا که مسائل بیشتر و مقالات مرتبط رو هم معرفی می کنم. فرض کنید یک ماتریس مربعی مرتبه زوج دارید، مثلا 2*2 یا 4*4 یا 6*6 و.... دو تا بازیکن به ترتیب درایه های ماتریس رو با عدد پر می کنند. بازیکن اول برنده است اگر ماتریسی که در نهایت به دست میاد وارون پذیر باشه و نفر دوم برنده است اگر ماتریس وارون پذیر نباشه. در این بازی بازیکن دوم استراتژی برد داره، یعنی می تونه طوری بازی کنه که برنده بشه همیشه. اون استراتژی چیه؟ https://eitaa.com/mathteaching

حالا که حرف بازی شد، دو تا مسأله از شطرنج هم می ذارم. یک مسأله مات در دو حرکت در شطرنج استاندارد که بیشتر یک مسأله شطرنج حساب می شه تا ریاضی و مسأله دوم یک مسأله در یک شطرنج infinite board، که اون هم جالب هست و بیشتر جنبه ریاضی و تحقیقاتی داره. در مسأله اول در شطرنج استاندارد 8*8 سفید در دو حرکت مات می کنه. در مسأله دوم که صفحه شطرنج edgeless هست، سوال اینه که می شه در 12 حرکت مات کرد یا نه؟

اول وزیر، بعد هم با توجه به حرکت حریف یکی از اون دو حرکت (که بتونه کیش بده به هرحال)

با 12 حرکت نمی شه، با 13 حرکت می شه! با وزیر و رخ، شاه سیاه رو هل بدید سمت شاه سفید.

یک قضیه در ریاضی هست به اسم Bertrand's postulate که در سال 1845 توسط Bertrand حدس زده شد و تا n سه میلیون هم توسط خودش بررسی شد و هفت سال بعد توسط Chebyshev اثبات شد. بعدها هم خیلی ها اثبات های مختلفی براش ارایه کردند. از جمله اردوش، که اتفاقا اولین مقاله ای بود که نوشت. ضمنا اثبات اردوش مثل بعضی دیگه از کارها و اثبات هاش elementary بود، یعنی از روش های پیشرفته ریاضی استفاده نکرده بود. این قضیه شکل ها و بیان های مختلفی داره، معروف ترینش اینه که: برای n بزرگتر از 3، حداقل یه عدد اول مثل p توی بازه (n,2n-2) وجود داره. یه شکل دیگه: برای هر n بزرگتر از یک، حداقل یه عدد اول توی بازه (n,2n) هست. به کمک اون می شه مسأله های متنوعی رو در نظریه اعداد حل کرد. یکی اش این: برای هر عدد طبیعی مثل t، ثابت کنید حداقل سه عدد اول t رقمی وجود داره. https://eitaa.com/mathteaching

این به نظرم خیلی خوب بود، روبیک سه بعدی رو توی دو بعد نشون می ده. روش های مختلفی دیده بودم برای توضیح روبیک، بیشتر منظورم براساس روش های ریاضی هستش. مثلا با استفاده از نظریه گروه ها.، با اینکه جذاب بودند ولی... این مسأله رو از بعد سه آورده توی بعد دو.

حدودا یک سال پیش دو نفر برای اولین بار یه اثبات مثلثاتی برای قضیه فیثاغورث ارایه دادند. نکته اول اینکه این دو نفر دانش آموزای دبیرستانی بودند و مهم تر از اون اینکه تا قبل از این فکر می کردند همچین اثباتی برای قضیه فیثاغورث وجود نداره. حدود صد سال پیش یه ریاضیدان و معلم آمریکایی به اسم Elisha Scott Loomis مدعی شده بود که همچین اثباتی وجود نداره. دلیلش هم این بود که می گفت: مثلثات هست چون رابطه sin²a+ cos²a = 1 هست و این رابطه هست چون قضیه فیثاغورث هست. https://eitaa.com/mathteaching

یه شرح خیلی خوب از تاریخچه آنالیز فوریه و یه مصاحبه با ظاهراً اولین دانش آموخته آنالیز فوریه در ایران. تاریخچه آنالیز فوریه رو خیلی خوب مرور کرده، مصاحبه هم جالبه، دکتر هرمزی بیست و شش سالگی تازه تصمیم می گیره کنکور کارشناسی شرکت کنه. هر چند مقدمه و مصاحبه یه جاهایی دیگه خیلی تخصصی می شه ولی سیر تاریخی این گرایش و موضوعاتی که الان اهمیت داره در این زمینه رو خیلی خوب شرح داده. حال داشتید بخونید. https://eitaa.com/mathteaching

یکی از مهمترین قضیه هایی که در صد سال گذشته در زمینه نظریه گراف اثبات شده Strong perfect graph theorem هست، که به اختصار spgt هم می گند به اون. یه ریاضیدان به اسم Berge دو حدس در سال 1960 می زنه. در سال 1972 Lovasz شکل ضعیف تر اون رو اثبات می کنه. یه گراف perfect هست اگر وفقط اگر complement اون perfect باشه. شکل قوی تر اون توسط چهار تا ریاضیدان در سال 2002 اثبات می شه. مقاله در Annals of Mathematics چاپ می شه و حدود ۱۸۰ صفحه است. نویسنده ها جایزه ۱۰۰۰۰ دلاری رو به خاطر اون برنده می شند. یکی از دلایل اهمیت قضیه ارتباط اون با برنامه ریزی عدد صحیح است.(که همین ارتباط شاید یکی از دلایل تلاش ها برای اثباتش بوده). خود Berge کمی بعد از اثبات حدس قوی تر درگذشت. عکس مربوط به چهار ریاضیدانی هست که قضیه رو اثبات کردند. Robin Thomas Paul Seymour Neil Robertson Maria Chudnovsky بعدا شرحی از قضیه و ارتباطش با برنامه ریزی صحیح می ذارم. https://eitaa.com/mathteaching